Анисов Александр Михайлович

Институт философии РАН

доктор философских наук, профессор

Anisov Alexander Mihailovich

Institute of Philosophy RAS

PhD, professor

E-Mail: a.m.anisov@yandex.ru

УДК 1.16.160.1

 

Онтология уникального и познание времени

 

Аннотация: Обычная практика использования понятий пространства и времени в научных работах представляет их как категории одного рода или даже как неразрывно связанные в едином пространстве-времени сущности. Мы же полагаем, что идея пространства глубоко отлична от идеи времени. Чтобы разобраться в сути разницы между этими двумя фундаментальными категориями, необходимо понять хотя бы в общих чертах, что такое время. Именно время, поскольку с пониманием пространства особых проблем нет. Существует огромное число книг и статей, в которых с позиций строгой науки исследуются самые разнообразные пространства, описываемые соответствующими геометриями. В данной статье отстаивается тезис о том, что предварительным условием введения адекватного реальности понятия времени является разделение событий на повторяющиеся и уникальные. Именно уникальные события позволяют различать в индетерминированном потоке становления прошлое, настоящее и будущее, тогда как повторяющиеся события допускают лишь разделение на произошедшие раньше и произошедшие позже.

Ключевые слова: время, событие, уникальное, прошлое, настоящее, будущее, неопределённость, становление, индетерминизм

 

 

Abstract: The usual practice of using the concepts of space and time in scientific works presents them as categories of the same kind or even as inextricably linked entities in a single space-time. We believe that the idea of ​​space is profoundly different from the idea of ​​time. In order to understand the essence of the difference between these two fundamental categories, it is necessary to understand at least in general terms what time is. Namely time, since there are no special problems with understanding space. There are a huge number of books and articles in which, from the standpoint of strict science, the most diverse spaces described by the corresponding geometries are studied. This article defends the thesis that a prerequisite for introducing an adequate concept of time for reality is the division of events into recurring and unique. It is unique events that allow us to distinguish the past, present and future in the indeterministic flow of becoming, while recurring events allow only a division into those that happened earlier and those that happened later.

Keywords: time, event, unique, past, present, future, uncertainty, becoming, indeterminism

 

1. События повторяющиеся и события уникальные

1.1 О двух типах событий

Исходным пунктом понимания времени в его отличии от пространства является разделение происходящих в мире событий на два типа: события повторяющиеся и события уникальные, случившиеся лишь однажды. В отношении повторяющихся событий можно не применять фундаментальные темпоральные атрибуты были в прошлом, есть сейчас и будут в будущем. Для таких событий α достаточно указать точку на пространственной шкале, предназначенной для измерения времени. Чаще всего в качестве шкалы в науке берут действительную прямую, отождествляя её точки с моментами времени t: событие α произошло в момент времени t. После этого спрашивать, относится момент t к прошлому, настоящему или будущему, не приходится. Все моменты равноправны, как точки на прямой, среди них нет выделенных. И каждому моменту соответствует множество событий, которое в этот момент произошло.

Соединение пространства и времени в едином пространстве-времени теории относительности, чем так гордятся физики-теоретики и слепо следующие за ними философы, в действительности с математической стороны – ещё одна разновидность не евклидовой геометрии. А любая геометрия является наукой о пространстве. Время тут ни при чём. Нам уже приходилось[1] подробно освещать геометризацию времени в физике, так что повторяться не будем. Успешно осуществляющаяся в последние годы компьютеризация геометрических конструкций никак не повлияла на безвременную природу геометрии, хотя она интересна не только с теоретической точки зрения, но и важна в практическом отношении[2].

Получается, что отнесение событий к прошлым, настоящим или будущим в науке не только не обязательно, но и просто вводит в заблуждение, поскольку онтологическое равноправие моментов времени влечёт онтологическое равноправие событий. Нет никаких прошлых, настоящих или будущих событий. Просто одни события произошли раньше других или, двойственным образом, позже других. И такая позиция имеет под собой основания, если имеются в виду повторяющиеся события. В самом деле, если повторяющееся событие α произошло в момент времени t, то t могло случиться в прошлом, происходить в настоящем, или наступить в будущем. Например, если α – событие солнечного затмения, то информация «случилось α» отставляет открытым вопрос, когда – в прошлом, настоящем или будущем – оно произошло или произойдёт.

Иное дело события уникальные. Если α – событие «смерть королевы Анны Стюарт», то ясно, что оно произошло в прошлом. Если α – событие «читаю эти строки», то несомненно, что это событие происходит в настоящем. Наконец, если α – событие «Солнце превратилось в красный гигант», то оно относится к будущему, которое не факт, что наступит. Полагают, что такое α случится этак через 5 миллиардов лет. Но, повторим, это не факт. А если Солнце за это время столкнётся с другой звездой, будет поглощено чёрной дырой или вообще произойдёт что-то, о чём современная наука не имеет представления? На этом примере видно, что уникальные события обладают лишь двумя темпоральными атрибутами из трёх: они либо произошли в прошлом, либо происходят в настоящем. Зафиксировать будущее уникальное событие невозможно.

Таким образом, повторяющиеся и уникальные события по-разному соотносятся с феноменом времени. Если повторяющиеся события могут быть описаны в категории пространства, где время играет роль одного из измерений этого пространства, то уникальные события невозможно адекватно описать лишь пространственными характеристиками. Мешает, как мы видели, не фиксированность, неустранимая онтологическая неопределённость уникального будущего. Далее будет показано, что и в отношении прошлого также возникает проблема неустранимой онтологической неопределённости. Неопределённость и в первой, и во второй ситуации обусловлена отнюдь не недостатком знаний. Это не эпистемологическая, а именно онтологическая неопределённость. Так устроено темпоральное бытие.

1.2 С. Лем об уникальных событиях

Мыслителем, попытавшимся постичь темпоральную суть феномена уникальных событий, оказался Станислав Лем (1921–2006). В основе его идей лежит онтологическая проблематика, связанная со статусом существования уникальных событий будущего. Особенности этого статуса демонстрируются Лемом на примере выдуманной истории появления на свет будущего профессора Коуски, от имени которого делаются индетерминистские выводы о природе уникальных событий. Одним из ключевых выводов является лемовский тезис о том, что информации о будущих уникальных событиях объективно не существует. Поэтому прогнозирование событий такого рода невозможно в принципе. Отсутствие информации связано с тем, что будущего онтологически ещё нет, оно ещё не случилось. Однако Лем полностью игнорирует проблему бытия прошлого. Поэтому данный лемовский тезис мы предлагаем дополнить симметричным тезисом, что и прошлого онтологически уже нет, что проявляется в индетерминированном бесследном исчезновении из прошлого части уникальных событий по мере течения времени.

Подробное рассмотрение идей Лема по поводу онтологического статуса будущих уникальных событий нами уже осуществлено[3]. Здесь мы ограничимся краткими замечаниями. «Профессиональные статистики, сознающие, насколько сложно положение дел в мироздании, обычно увиливают от рассмотрения вероятности таких событий, как чье-то появление на свет», – отмечает Лем (разумеется, от имени Коуски), – «Чтобы отвязаться, они говорят, что дело здесь в скрещении необозримого числа причинно-следственные связей» и что «это, дескать, невозможность всего лишь техническая, а не принципиальная; связанная с трудностью собирания информации, а не с тем, что такой информации вообще нет на свете» (Выделено мною – А.А.)[4]. Заявление о том, что «такой информации вообще нет на свете» имеет важное значение в проблеме онтологического статуса уникальных событий. Информации о будущих появлениях на свет нет потому, что нет самих этих каждый раз уникальных появлений. Они онтологически ещё не существуют. Следовательно, и знание о таких событиях невозможно. Невозможно знать то, чего нет.

Но если существуют события, которые не только не наступают с неизбежностью, но даже не имеют вероятностного обоснования, то мы получаем индетерминированный универсум, в котором есть два не пресекающихся класса событий. Один класс состоит из повторяющихся событий, которые описываются либо однозначными, либо вероятностными законами, а другой класс содержит события неповторимые, лишь однажды случившиеся и потому не предсказуемые даже вероятностно. Но они всё же, хотя и индетерминированным образом, произошли в реальности: «То, что случается, если на самом деле случается, – то и случается; таков главный тезис профессора Коуски»[5].

Что же означает «случилось»? У Лема ответа нет. Предлагаем свой. «Случилось» – значит произошло индетерминированным образом в ходе течения времени. Чтобы случилось уникальное событие τ, должны были прежде случиться многие другие события, а затем ход времени индетерминированно порождает τ, творя историю уникальных событий. Строго говоря, эти предшествующие события не являются причиной τ, поскольку вполне могло случиться, что τ так бы и не произошло, несмотря на их наличие. В последнее мгновение могло случиться что-то другое вместо τ. Но время породило именно τ. Лем в главном прав: нельзя наделять уникальные события будущего статусом существования до того, как они случились. В этом смысле будущие уникальные события онтологически невозможны. Поэтому их невозможно прогнозировать, описывать, давать им имена.

Эмпирически достоверным свидетельством в пользу индетерминизма является сам факт существования индивидуализированных неповторимых событий, составляющих основу их исторического описания. То, что будущего онтологически ещё нет, подтверждается невозможностью написания истории будущего. История не потому наука о прошлом, что её так определили, а потому, что истории будущего не существует. Поскольку онтологически не существует множества уникальных событий, относящихся к будущему. Историку просто нечего описывать.

1.3 Уникальность и «темпоральные числа»

Попытка построить онтологию уникального была предпринята Андреем Витальевичем Колесниковым. Его вариант онтологии базируется на введении нового понятия темпорального числа[6]. Автор начинает с констатации того факта, что традиционная математика и физика (включая сюда релятивистскую и квантовую физику) неудовлетворительно описывают феномен времени. Фактически, он присоединяется к позиции И. Пригожина: «Классическая физика, даже если включить в неё квантовую механику и теорию относительности, даёт сравнительно бедные модели эволюции во времени. Детерминистские законы физики, некогда бывшие единственными приемлемыми законами, ныне предстают перед нами как чрезмерные упрощения, почти карикатура на эволюцию»[7].

Однако мало указать на проблему. Хотелось бы сразу увидеть хотя бы набросок пути к её решению. Но тут появляется настораживающий момент. Автор намерен искать выход в разработке «…оснований новой парадигмы детерминизма (выделено мною – А.А.), адекватной современному уровню развития науки»[8]. Дескать, детерминизм лапласовского типа не годится, и нужна новая трактовка детерминизма, которая позволит описать истинное историческое время.

Опуская пространные общие рассуждения автора, обратимся сразу к сути предлагаемого им решения. В его основе лежит понятие темпорального числа. Оказывается, числа меняются во времени. Точнее, у них есть неизменная во времени «номинальная» часть и подверженная темпоральным изменениям так называемая «феноменальная» часть. Автор иллюстрирует свою идею на примере процесса закипания воды. Как известно, вода закипает в нормальных условиях при 100° по Цельсию. Однако в действительности каждый конкретный акт закипания воды происходит при температуре, хоть немного, на доли градуса, но отличающейся от 100° в ту или другую сторону. Здесь число 100 представляет номинальную часть числа, а его дробная составляющая феноменальную часть.

Стандартное описание ситуации заключается во введении функции f, которая каждому акту закипания воды x сопоставляет конкретное числовое значение температуры этого закипания y: f(x) = y. Если ограничить акты закипания нормальными условиями, то значение y будет колебаться вокруг числа 100 с небольшими отклонениями. Казалось бы, всё просто и ясно. Допустим, закипание x₁ дало значение y₁ = 99,9°, а акт закипания x₂ – число y₂ = 100,1°. Тогда y₁ и y₂ – это всего лишь близкие, но разные числа: y₁ ≠ y₂. Но у автора получается, что y₁ и y₂ это одно и тоже темпоральное число, изменяющееся во времени. Идея, если выразиться предельно мягко, фантастическая. Неудивительно, что пытаясь её реализовать в точных терминах, автор впадает в абсурд.

В самом деле, рассмотрим некоторые выделенные автором свойства придуманных им «темпоральных чисел».

«Эти свойства могут быть записаны следующим образом: x_temp ≠ x_temp; 0_temp ≠ 0; x_temp + y_temp ≠ y_temp + x_temp; x_temp + (y_temp + z_temp) ≠ (x_temp + y_temp) + z_temp. Из первого свойства, то есть из неравенства числа самому себе, следуют все остальные. Парадоксальное неравенство числа самому себе выражает основное свойство темпоральности. Темпоральное число не может быть одинаковым, не может иметь собственную копию. Конкретное значение темпорального числа появляется единственный раз и совершенно уникально. Идентификация темпорального числа, именно как этого темпорального числа, основана на номинальной его части, которая представляет собой действительное число, подчиняющееся классической арифметике»[9].

Для наглядности уберём из обозначений темпоральных чисел части вида _temp, заменив их на индекс t. Получим цепочку x_t ≠ x_t; 0_t ≠ 0; x_t + y_t ≠ y_t + x_t; x_t + (y_t + z_t) ≠ (x_t + y_t) + z_t. Наиболее важным для автора является неравенство числа самому себе. Примечательно, что автор употребляет символические обозначения, не объясняя, что они значат. Напомним, что бинарное отношение R называется рефлексивным, если для всякого объекта x выполняется x R x. Получается, что равенство = не рефлексивно: x ≠ x. Между прочим, в теории равенства формула x = x (или ∀x(x = x)) является аксиомой. И если мы не просто отбрасываем, а отрицаем аксиому теории равенства, то мы имеем дело не с равенством, а с каким-то другим отношением, которое поэтому было бы логично обозначить другим символом. Аналогичным образом, операция сложения действительных чисел является коммутативной и ассоциативной. Поскольку то и другое автором отрицается, мы на самом деле имеем какую-то другую операцию. Например, под авторские условия подходит операция вычитания, поскольку найдутся такие действительные числа x и y, что x – y ≠ y – x и такие действительные числа x, y и z, что x – (y – z ) ≠ (x – y) – z. Но автор упорно употребляет стандартные символы в несвойственных им значениях.

По-видимому, в данном случае мы сталкиваемся с описанным Р. Карнапом магическим взглядом на язык[10]. Наверное, автору кажется, что раз он употребил символ сложения + и слово «равенство», да ещё применил символ =, то волшебным образом речь действительно идёт о сложении и равенстве. Но это мнение ошибочно. Так, в случае с равенством на самом деле он говорит о неравенстве. Можно, конечно, договориться и равенством называть неравенство, но это только запутывает дело, как в случае, если чёрное называть белым или наоборот. В итоге что имеется в виду под равенством = остаётся совершенно неясным.

Впрочем, избавиться от неясности легко. Надо отбросить нелепую идею неравенства числа самому себе. Вернёмся к записи x_t ≠ x_t и чуть-чуть модифицируем её: x_t ≠ x_t’. Рассматривая индексы t и t’ как временные параметры (указатели на моменты времени), для избежания противоречий принимаем неравенство t ≠ t’. Фактически принимается постулат t ≠ t’ → x_t ≠ x_t’, означающий, что всякий раз, когда выбирается исходное число, оно обязательно оказывается не равным любым предыдущим и любым последующим выборам. Но это на самом деле всё, что требуется автору: исходные данные для последующих преобразований должны каждый раз хоть сколь угодно мало, но отличаться от предыдущих и последующих начальных данных. В противном случае, поскольку рассматриваемые автором системы полностью детерминированы, они будут шаг за шагом повторять одни и те же конфигурации. Тот же самый порок детерминизма присущ системам, рассматриваемым И. Пригожиным в упомянутой книге и других его работах на рассматриваемую тему. Здесь и в помине нет индетерминизма, творения нового из ничего, уникальных событий и, в итоге, никакого желаемого исторического времени не возникает. Ведь что представляет из себя историческое время? А.В. Колесников так отвечает на этот вопрос.

«Историческое время – это нечто принципиально иное. В первичном сгустке нет полной информации о развитии мира. Судьба его не определена изначально. Информация рождается в ходе истории универсума, судьба мира свершается и не предопределена заранее. В таком мире существует свободная воля. Это творческая эволюция, источником и движущей силой которой является хаос, представляющий собой первооснову сущего»[11].

Допустим, что так. Проблема в другом: как сказанное автором воплотить в точных научных понятиях, заменив ими образы? Ведь слова о не предопределённости судьбы мира, таинственном рождении информации, свободной воле и творческой эволюции – это всего лишь художественные образы, уместные в литературе, но не уместные в науке. Недаром писавший в таком же стиле философ А. Бергсон получил Нобелевскую премию по литературе.

В ходе дальнейшего изложения выясняется, что применяемые автором вычислительные модели являются жёстко детерминированными автоматами. И, коль скоро начальные условия заданы, дальнейшие вычисления и их результаты однозначно предопределены. Но «первичный сгусток» и есть начальное условие для всего мира. А дальше всё пойдёт по раз и навсегда заданному космическому алгоритму. И в соответствии с ним неизбежно в соответствующее время бабочка взмахнёт крылом, А.В. Колесников напишет обсуждаемую книгу, а автор этих строк – эти самые строки. Какая уж тут творческая эволюция и свобода воли…

В этой работе предпринята попытка избавиться от детерминизма не на словах, а на деле. Вместо образов и метафор мы предлагаем теоретические конструкции, воплощённые в особой приспособленной для этой цели теории множеств с атомами ZFAI и теории индетерминированной вычислимости ABTC. предлагаемый здесь теоретический подход к онтологии уникального базируется на двух теориях: аксиоматической первопорядковой теории множеств с атомами (ZFAI), для которых определено отношение интенсиональной принадлежности ε, и генетически заданной теории индетерминированной вычислимости (ABTC). Теория ZFAI представляет из себя расширение теории множеств с атомами ZFA, являющейся, в свою очередь, расширением теории ZF. Теория ABTC получается из теории индетерминированной вычислимости ABT добавлением индетерминированного оператора CREATE, позволяющего создавать новые атомы и множества атомов буквально из ничего.

2. Теория множеств с атомами ZFAI

Приведём только те аксиомы теории множеств с атомами ZFA, формулировки которых отличаются от аксиом ZF в связи с постулированием существования множества праэлементов Å[12]. Остальные аксиомы те же, что и в ZF.

2.1 Аксиомы ZFAI

Аксиома множества атомов:

∀x(x ∈ Å ↔ (x ≠ ∅ ⋀ ∀y(y ∉ x))).

Аксиома экстенсиональности для множеств:

(∀x ∉ Å)(∀y ∉ Å)(x = y ↔ ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y)).

Аксиома суммы или объединения:

∀x(∃y ∉ Å)∀z(z ∈ y ↔ ∃x₁(x₁ ∈ x ⋀ z ∈ x₁)).

Аксиома степени:

∀x∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊂ x), где z ⊂ x ↔_Df (z ∉ Å ⋀ ∀x₁(x₁ ∈ z → x₁ ∈ x)).

Схема аксиом подстановки:

∀x(∀x₁(x₁ ∈ x → ∃!zF(x₁, z)) → (∃y ∉ Å)∀z(z ∈ y ↔ ∃x₁(x₁ ∈ x ⋀ F(x₁, z)))), где F(x₁, z) не содержит y свободно.

Будем называть элементы из Å атомами или праэлементами, а множествами – объекты, не являющиеся атомами, то есть x – атом, если и только если x ∈ Å, и x – множество, если и только если x ∉ Å. Для множеств выполняется аксиома экстенсиональности, которая не верна для атомов. Множество, существование которого утверждается в аксиоме объединения, единственно. Его обозначением для x является терм ∪x. В частности, ∪∅ = ∅ и если x – атом, то ∪x = ∅. Если в формулировке аксиомы опустить требование y ∉ Å, то единственность уже не гарантирована: ничто не мешает для атома a положить ∪∅ = a и ∪a = a. Условие в аксиоме степени, что всякое подмножество z является множеством, обеспечивает верность предложения ∀x(∅ ⊂ x), однако предотвращает a ⊂ x для любого x в том случае, если a – атом. Например, ¬(a ⊂ a), но x ⊂ x, если x – множество. Единственность множества-степени для всякого x следует из аксиомы экстенсиональности, что позволяет ввести для него обозначение S(x). По аксиоме степени S(∅) ={∅} и S(a) ={∅}, если a – атом, то есть единственным подмножеством пустого множества и атомов является пустое множество. Условие y ∉ Å в схеме аксиом подстановки позволяет предотвратить появление атомов в качестве результатов применения этой схемы при ложности ∃x₁(x₁ ∈ x ⋀ F(x₁, z)). Отметим, что ни в одной из аксиом не требовалась непустота множества атомов Å. Поэтому, добавив к ZFA формулу Å = ∅, мы получим обычную теорию ZF, что вовсе не входит в наши планы. Но не приведёт ли к противоречию непустота множества Å? Оказывается, нет. Более того, было показано, что система аксиом (ZFA + “ Å – бесконечное множество”) непротиворечива относительно ZF[13].

Теперь мы видим, что как объект ∅, так и объекты из Å являются пустыми, поскольку не содержат элементов. Однако лишь один объект ∅ есть множество, тогда как элементы из Å к множествам не относятся. Это индивиды, но не множества. И они не могут выступать в роли пустого множества при проведении операций с множествами, как было показано. Таким образом, свойство пустоты не является характеристическим признаком, отличающим пустое множество от всех прочих объектов. Пустое множество является таковым не само по себе, а благодаря месту, занимаемому в теории множеств. Праэлементы занимают другое место, не столь фундаментальное, и поэтому они существенно отличны от пустого множества, но почти ничем не отличаются друг от друга (если только какие-либо новые аксиомы не введут такие отличия). Сказанное касается не только предметов рассмотрения теории множеств. Онтологический статус любых математических объектов определяется той ролью, которую они играют в системе объектов. Вне системы эти объекты не существуют. Если мы будем пытаться мыслить пустое множество как вещь, существующую саму по себе, то это бесперспективное занятие. Тогда мы не сможем отличить эту вещь от ряда таких же пустых вещей, отличить пустое множество от столь же пустых атомов.

Расширим язык теории ZFA, добавив к нему индивидные константы Π и Θ, а также одноместный функциональный символ f. Построим в этом языке теорию ZFAI, аксиомами которой являются аксиомы ZFA (в результате теория ZFA будет подтеорией теории ZFAI) и следующие четыре новые аксиомы, которые, в отличие от предыдущих, не будут иметь специальных названий. Вместо названий пронумеруем эти аксиомы римскими цифрами.

1. Π ∪ Θ = Å.
2. Π ∩ Θ = ∅.

III. ∃x∃y(x ∈ Π ∧ y ∈ Θ).

1. (f – функция) ∧ dom(f) = Π ∧ (∀x ∈ Π)(∃n ∈ ω⁺)(f(x) ⊂ Θⁿ).

Здесь dom(f) – область определения функции f, ω⁺ – множество положительных натуральных чисел и Θⁿ – множество всех отображений из n в множество Θ (т.е. Θⁿ есть множество всех конечных последовательностей длины n элементов из Θ). Выражение «f – функция» средствами ZF легко записать в чисто формальном виде (это не сделано во избежание нагромождения тривиальных формул), поэтому ZFAI, подобно ZF и ZFA, является формальной теорией в исчислении предикатов первого порядка. Ясно, что поскольку Θⁿ ∩ Θ^m = ∅ при n ≠ m (множества конечных последовательностей разной длины не могут иметь общих элементов), число n, существование которого утверждается в аксиоме IV, единственно, если только множество f(x) непусто[14].

2.2 Неформальная интерпретация ZFAI

Неформальная интерпретация введенных в язык новых символов состоит в следующем. Множество Π – это множество предикаторов (свойств и отношений), а множество Θ – множество объектов. Стандартно n-местные (n ≥ 1) предикаторы трактуются как подмножества множества объектов (при n = 1) или как подмножества n-местного декартова произведения множества объектов (при n > 1). Но отношение «x подмножество y» определяется через отношение принадлежности элемента множеству: x ⊂ y ↔_Df ∀z(z ∈ x → z ∈ y). Препятствием к реализации стандартной интерпретации в рассматриваемой ситуации является то, что в теории ZFAI предикаторы, будучи элементами множества Π, то есть атомами, не могут содержать каких-либо объектов в смысле отношения принадлежности ∈. Поэтому стандартная интерпретация свойств и отношений здесь невозможна. Однако выход есть. Вместо подмножеств n-местных декартовых произведений множества объектов можно говорить о множествах конечных последовательностей объектов длины n. Например, для двухместного предикатора R вместо R ⊂ Θ × Θ писать R ⊂ Θ² (где Θ² есть множество всех отображений из теоретико-множественной двойки 2 ={0, 1} ={∅,{∅}} в Θ), то есть вместо множества упорядоченных пар как элементов декартова произведения Θ × Θ рассматривать множества двухчленных последовательностей из Θ. При этом каждой упорядоченной паре <a, b> взаимно однозначно сопоставляется последовательность (a₀, b₁). Данная конструкция может быть расширена на предикаторы произвольной местности n: каждой упорядоченной n-ке объектов <a₀, a₁, … , a_n-1> взаимно однозначно сопоставляется последовательность длины n тех же самых объектов (a₀, a₁, … , a_n-1). В теории ZFAI функция f реализует указанную возможность. Она каждому предикатору из Π однозначно сопоставляет некоторое подмножество (не исключая случая, что это будет пустое подмножество ∅) множества Θⁿ конечных последовательностей длины n объектов из Θ.

Теперь все готово для введения важного определения интенсиональной принадлежности ε.

x ε y ↔_Df x ∈ f(y).

Аксиома экстенсиональности теории ZF постулирует, что состоящие из одних и тех же элементов множества равны между собой. В примере Б. Рассела, «класс людей должен быть тем же самым, что и класс беспёрых двуногих»[15]. По замечанию П. Кона, в этой связи «всякое рассуждение о том, является ли двуногий, не имеющий оперения, более способным развить оперение, чем человек, находится вне сферы теории множеств», т.к. в соответствии с принципом экстенсиональности «нам не разрешается различать эти два описания»[16]. Однако в теории множеств ZFAI мы получили возможность различать совокупности, состоящие (в неклассическом смысле слова «состоять» как интенсиональной принадлежности ε) из одинаковых элементов. Альтернативное отношение принадлежности ε допускает существование таких множеств p и q, что ∃x(x ε p), ∃x(x ε q), однако из утверждения ∀x(x ε p ↔ x ε q) не следует утверждение p = q, что нарушает аксиому экстенсиональности, будь она сформулирована для интенсиональной принадлежности ε.

Рассмотрим следующий пример. Пусть p и q – предикаторы-атомы из Π такие, что p ≠ q. Положим a и b – объекты-атомы из Θ. Пусть, далее, f(p) = {(a₀), (b₀)} и f(q) = {(a₀), (b₀)}. Ясно, что множество {(a₀), (b₀)}, состоящее из двух одноэлементных последовательностей (a₀) и (b₀), является подмножеством всех одноэлементных последовательностей Θ¹: {(a₀), (b₀)} ⊂ Θ¹. Тогда одночленная последовательность (a₀) ε p, (b₀) ε p, (a₀) ε q, (b₀) ε q и вообще ∀x(x ε p ↔ x ε q). Однако p ≠ q. Таким образом, интенсиональные предикаторы p и q состоят (в смысле отношения ε) из одних и тех же элементов, но, тем не менее, в нарушение принципа экстенсиональности, не равны между собой.

Пусть теперь имеются попарно различные свойства-атомы p, означающее «двуногие беспёрые», q, означающее «люди», и r, означающее «триасовые пресмыкающиеся» (от них произошли птицы). Вновь имеем ∀x(x ε p ↔ x ε q). Образуем множество δ = {p, r} потенциально способных развить оперение. Поскольку p ∈ δ, но q ∉ δ, двуногие беспёрые потенциально способны развить оперение, а люди – нет, несмотря на то, что объёмы этих свойств одинаковы. В качестве отношений-атомов p и q можно взять вычислимые функции, которые имеют экстенсионально совпадающие области определения и значения, однако интенсионально различаются по эффективности и т.д. – количество примеров возможных применений интенсиональных предикатов можно без труда умножить.

Идея времени требует для адекватного представления введения принципиально не сводимых к стандартным теоретико-множественным структурам темпоральных вычислительных конструкций. Вариантом таких конструкций является язык программирования ABT, снабжённый индетерминированными операторами, позволяющими моделировать течение времени[17]. Здесь будут представлены лишь элементы теории ABT-вычислимости. Но этого будет достаточно, чтобы продемонстрировать ABT-процессы, который невозможно представить в виде пространственных структур.

3. Элементы теории ABT-вычислимости

3.1 ABT-компьютеры

Введём в рассмотрение идеальные (в противоположность реальным) вычислительные устройства – абстрактные компьютеры. Каждый абстрактный ABT-компьютер @ представляет из себя упорядоченную тройку вида <Ts, Sp, Pr>, где Ts – какая-либо достаточно мощная формальная теория множеств (в частности, в Ts должны быть доказуемы аксиомы арифметики и доказуемо существование счётных и несчётных бесконечных множеств), Sp – память компьютера @, в которой размещаются результаты вычислений, и Pr – процессор, осуществляющий необходимые вычисления. Поскольку термин «вычисление» нами трактуется предельно широко, на размеры памяти Sp и возможности процессора Pr не накладывается никаких ограничений, связанных с требованиями финитности, конструктивности, алгоритмичности и т.п. Вместо этого будем считать, что абстрактные компьютеры способны совершать любые преобразования, допустимые в рамках теории множеств Ts и теории моделей на основе Ts, и именно в этом смысле понимать термин «вычисление» применительно к абстрактным компьютерам. Важно, однако, чтобы последовательность таких преобразований была линейной дискретной последовательностью шагов, в которой каждый шаг, если он не первый, имеет непосредственно предыдущий шаг, и каждый шаг, если он не последний, имеет непосредственно следующий шаг.

В философском смысле ABT-компьютер @ = <Ts, Sp, Pr> представляет определённый темпоральный универсум с ограниченными ресурсами (уор)[18]. Формальная теория множеств Ts является идеальной основой проводимых ABT-компьютером @ вычислений, её теоремы играют роль множества инвариантов или законов универсума @. Память Sp есть пространство универсума @, формально представленное некоторым непустым множеством, существование которого доказуемо в Ts. Множество Sp есть реализация некоторого идеально возможного множества из Ts в качестве пространства уора @. Процессор Pr наделяется способностью размещать и удалять в рамках пространства Sp подходящие множества, существование которых не противоречит идеальной основе Ts. Это размещение и удаление осуществляется в ходе течения внутреннего времени темпорального универсума @ (существование внешнего по отношению к @ времени не предполагается). Тем самым процессор Pr является темпоральной компонентой универсума, которая, как мы увидим, принципиально не сводима к пространственным построениям из-за неустранимого индетерминизма действий Pr.

В качестве памяти абстрактных компьютеров разрешается использовать любые непустые множества произвольной мощности, существование которых доказуемо в Ts. В частности, память Sp ABT-компьютера @ может иметь несчётную мощность. Размещение и удаление множеств в пространстве Sp осуществляется в ходе выполнения процессором Pr программы π на языке программирования ABT, который будет описан далее. Несмотря на возможное использование несчётных структур, ресурсы любого ABT-компьютера @ всё-таки ограничены, что и позволяет отнести эти абстрактные компьютеры к уорам. Ясно, что все реально существующие компьютеры, включая сюда суперкомпьютеры и квантовые вычисляющие устройства, ограничены в ресурсах по времени и по памяти. Поэтому, если реальные компьютеры рассматривать абстрактно как автономные независящие друг от друга и внешних условий миры, то их однозначно следует отнести к уорам.

Но то же самое верно в отношении абстрактных ABT-компьютеров. Каждый такой компьютер имеет память, ограниченную некоторым конкретным кардиналом ς: |Sp| = ς. Даже если ς бесконечен, в этой памяти невозможно разместить множество большей мощности в любом разумном смысле слова «разместить». Если |Sp| = ς, |A| = τ и ς < τ, то было бы абсурдным постулировать возможность размещения множества A в памяти Sp при указанных условиях. Памяти Sp для размещения множества A попросту не хватит. В этом смысле ABT-компьютер @ = <Ts, Sp, Pr> является темпоральным универсумом с ограниченными ресурсами памяти. Можно показать, что ABT-компьютеры ограничены также и по времени[19]. Тем самым они тоже однозначно относятся к уорам.

Предположим, процессор Pr разместил в пространстве Sp множество S. По определению, Sp(S) – подмножество тех элементов Sp, которые были использованы как регистры или ячейки памяти для размещения объекта (множества) S: Sp(S) ⊂ Sp. Правило вычисления мощности множества Sp(S) должно учитывать мощностные характеристики размещаемых в памяти множеств. Естественно предположить, например, что одноэлементное множество {∅} займёт меньшее место в памяти, чем двухэлементное множество {∅,{∅}}. Однако интуитивно ясно, что размещение в памяти одноэлементного множества {ω} должно занять больше места, чем размещение двухэлементного множества {∅,{∅}}, поскольку единственным элементом множества {ω} является бесконечное множество ω, тогда как оба элемента множества {∅,{∅}} конечны и гораздо более просто устроены, чем множество ω. И т.п. В итоге правило вычисления мощности множества Sp(S) оказывается достаточно сложным и потому здесь оно пропущено.

Размещением теоретико-множественных объектов в памяти, равно как и их удалением, управляет выполняемая процессором Pr программа π, написанная на специальном языке ABT – абстрактном языке программирования. Мы не будем задумываться над тем, каким образом процессор Pr выполняет ABT-программу π. Кроме того, будем считать, что ABT-программы размещаются вне пространства Sp и что в Sp хранятся только результаты вычислений. В оправдание последнего допущения можно указать на то обстоятельство, что физическое пространство заполняют вещи и события, тогда как физические законы традиционно не рассматриваются как объекты, способные занимать место в пространстве. Но ABT-программы будут играть скорее роль законов, чем роль вещей и событий (фактов). Правда, особых законов. Ведь не обязательно относиться к законам природы как к данностям. Можно рассматривать их и как своего рода предписания к действию, предписания, подлежащие неукоснительному выполнению самой природой. До сих пор природа успешно «вычисляла» будущее. Справится ли она с этим делом в дальнейшем – вот вопрос.

Сформулируем постулат, касающийся ABT-программ и ABT-компьюте­ров, который имеет принципиальную важность.

Постулат существования:

Любой объект может появиться в пространстве Sp или исчезнуть из него только в результате выполнения процессором P r соответствующего оператора языка программирования ABT.

Программы на языке ABT являются конечной последовательностью инструкций или команд.

I1

I2

⋮

In

Эти инструкции выполняются одна за другой сверху вниз, если только нет команды изменить порядок их выполнения. Выполнение каждой инструкции рассматривается как элементарный процесс в том смысле, что составляющие этот процесс акты не могут быть выполнены ABT-компьютером отдельно. В целях компактности разрешается представлять программы в линейной форме: I₁, I₂, …, I_n.

3.2 Синтаксис и семантика языка ABT

Перечислим команды языка ABT. Начнём с составной инструкции

IF условие THEN оператор,

где IF … THEN имеет обычный смысл (как, например, в языке PASCAL): если условие истинно, ABT-компьютер выполняет оператор, а если условие ложно, ABT-компьютер переходит к следующей команде программы. При её отсутствии вычисление останавливается, и в памяти сохраняются результаты вычислений.

Под оператором понимается любая команда языка ABT, кроме составной инструкции IF … THEN. В качестве условий можно брать произвольные теоретико-множественные и теоретико-модельные высказывательные формы. Кроме того, в этих высказывательных формах разрешается использовать обозначение Sp и конструкцию Sp(…). Например, условиями будут следующие выражения: X ⊂ Y, ∅ ∈ ω, Sp(X) ≠ ∅ ⋀ X ⊨ T, ∃zSp(z) ⋀ ∀x(x ∈ z → Sp(x) = ∅), {x | P(x)} ∈ Y, Sp ∖ Sp(X) ≠ ∅, Sp(x₁) ∪ Sp(x₁) = Sp, |Sp(y)| < |Sp| и т.п.

В условиях очень важно четко различать переменные и константы. Переменные будут обозначаться последними тремя буквами латинского алфавита x, y, z, X, Y, Z с индексами или без них, а константы – любыми другими символами. Значения констант не зависят от хода выполнения ABT-программ. Единственное, что может ABT-программа – это размещать или не размещать значения констант в памяти Sp. Однако мы не требуем, чтобы проверка на истинность тех или иных утверждений, содержащих константы, зависела от наличия их значений в памяти Sp. Например, при выполнении команды

IF {∅} ∈ ω THEN оператор

условие {∅} ∈ ω будет оценено ABT-компьютером как истинное, независимо от того, находятся множества {∅} и ω в памяти Sp или не находятся.

Напротив, значения переменных не фиксированы, и в ходе выполнения ABT-программы могут изменяться. Поэтому оценка истинности, например, условия x ∈ y требует, чтобы значения x и y находились в памяти компьютера (т.е. выполнялось требование Sp(x) ≠ ∅ и Sp(y) ≠ ∅.

Перейдем теперь к описанию других операторов языка ABT. Оператор GOTO. Хорошо известный оператор безусловного перехода. Используется в ABT-программах в виде конструкции

GOTO I_j,

где I_j – одна из инструкций соответствующей ABT-программы. Его действие ничем не отличается от поведения аналогичных операторов в обычных языках программирования.

Оператор завершения ABT-программ

END.

Если выполнен оператор END, процесс выполнения соответствующей ABT-программы заканчивается. При этом в памяти ABT-компьютера сохраняются все объекты, размещенные там в ходе выполнения программы.

Следующие два оператора специфичны, поэтому их характеристика будет более подробной. Оператор индетерминированного выбора CHOOSE. Применяется в ABT-программах в следующей форме.

CHOOSE список переменных | условие

В этой записи условие означает то же самое, что и в случае оператора IF…THEN, за исключением того, что условие должно содержать все переменные из списка переменных, причем эти переменные не должны быть связанными (т.е. в условии не должно быть кванторов по этим переменным). На список переменных также накладываются ограничения: он не должен содержать повторных вхождений одной и той же переменной, и в него не могут входить переменные, значения которых уже размещены в пространстве Sp. Поскольку вопрос о том, значения каких переменных размещены в памяти Sp, требует анализа хода выполнения соответствующей ABT-программы, последнее ограничение имеет не синтаксический, а семантический характер. В отличие от списка переменных, предикат условие может содержать повторные вхождения одной и той же переменной.

Более формально синтаксическую форму оператора CHOOSE можно представить в виде записи

CHOOSE V₀, V₁, V₂, … , V_n | условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n),

где V_i – некоторая переменная, причём переменные V_i и V_j  различны, если i ≠ j. Всё выражение может быть прочитано как «Выбрать объекты (множества) V₀, V₁, V₂, … , V_n  такие, что выполняется предикат условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n)».

Например, запись

CHOOSE x, x, y | ∃x(x ∈ x)

не будет синтаксически правильной по трем причинам: во-первых, в списке переменных переменная x встречается дважды; во-вторых, в условии ∃x(x ∈ x) использованы не все переменные из списка переменных (не использована переменная y); в-третьих, в условии имеется квантор по переменной x, входящей в список переменных.

Напротив, запись

(*) CHOOSE x, y, X | x ∈ X ⋀ y ∈ X

будет синтаксически правильной. Действительно, в условии x ∈ X ⋀ y ∈ X использованы в качестве свободных переменных все переменные из списка попарно различных переменных x, y, X.

Однако, в конечном счёте правомерность применения записи (*) в конкретной ABT-программе будет зависеть от того, присвоены или нет значения переменным x, y, X  до выполнения инструкции (*). С формальной точки зрения это означает, что успешность применения инструкции (*) зависит от истинности или ложности следующего предусловия:

Sp(x) = ∅ ⋀ Sp(y) = ∅ ⋀ Sp(X) = ∅.

Т.е. непосредственно перед выполнением (*) данное предусловие должно быть истинным; в противном случае (*) выполнено быть не может, что приведёт к аварийной остановке (авосту) программы на шаге (*).

Сформулируем условия выполнимости оператора CHOOSE в общем виде с учётом не только его синтаксиса, но и его семантики.

Если ABT-компьютер @ выполняет синтаксически правильную инструкцию I вида

CHOOSE V₀, V₁, V₂, … , V_n | условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n)

и предусловие P

Sp(V₀) = ∅ ⋀ Sp(V₁) = ∅ ⋀ Sp(V₂) = ∅ ⋀ … ⋀ Sp(V_n) = ∅

ложно, выполнение завершается аварийно: произойдет авост.

Если P истинно, процессор Pr пытается найти (выбрать) такие объекты (множества) S₀, S₁, S₂, … , S_n, которые, будучи присвоены в качестве значений переменным V₀, V₁, V₂, … , V_n соответственно, обеспечивают истинность условия инструкции I. Затем процессор Pr пытается разместить в памяти Sp объекты S₀, S₁, S₂, … , S_n.

Если объектов (множеств) S₀, S₁, S₂, … , S_n, удовлетворяющих условию инструкции I и способных поместиться в свободной области памяти Sp, не существует, выполнение I завершается авостом. В противном случае (т.е. если требуемые объекты существуют) выполнение I завершается успешно в состоянии, в котором истинны следующие постусловия:

Sp(S_i) ≠ ∅ для всех i, 0 ≤ i ≤ n;

условие(S₀, S₁, S₂, … , S_n).

Рассмотрим простой пример конкретной ABT-программы. Пусть T – какая-либо теория в счетном языке первопорядкового исчисления предикатов. Это синтаксически правильная программа I₁, I₂.

I₁  CHOOSE X | X ⊨ T

I₂ GOTO I₁

Выполнение первой инструкции состоит в выборе модели X теории T, существующей в рамках теории множеств Ts. Но если теория T противоречива, она не имеет модели и выполнение I₁ в соответствии с семантикой оператора CHOOSE завершится аварийно. Однако и в том случае, если теория T имеет модель, это не гарантирует успешности выполнения инструкции I₁. Например, если память АВТ-компьютера, на котором выполняется данная программа, конечна и теория T не имеет конечных моделей, попытка выполнить I₁ приведёт к авосту. Но если память Sp бесконечна и теория T непротиворечива, в соответствии с теоремой полноты существует модель теории T, построенная средствами Ts, и, следовательно, такая модель будет найдена процессором Pr и размещена в памяти Sp, даже если мощность Sp счётно бесконечна, поскольку T сформулирована в счётном языке и, если T имеет модель, то для нее существует и не более чем счётная модель.

Если память компьютера @ несчётна и T имеет бесконечную модель, процессор Pr мог бы выбирать между неизоморфными моделями теории T, так как наряду со счётными моделями теория T имела бы и несчётные модели. Но сказать, какой из возможных исходов будет иметь место до выполнения инструкции I₁, невозможно в принципе, так что в общем случае при использовании оператора CHOOSE мы имеем дело с ситуацией индетерминированного выбора. В некотором роде оператор выбора CHOOSE близок к аксиоме выбора: их объединяет неконструктивный (в смысле математического конструктивизма) характер получения результатов.

При условии успешного выполнения инструкции I₁ рассматриваемой ABT-программы процессор Pr приступит к выполнению инструкции I₂, в соответствии с которой произойдёт возврат к инструкции I₁. Как только осуществится этот переход по GOTO, возникнет авост. Почему? В силу того обстоятельства, что Sp(X) ≠ ∅ после первого выполнения инструкции I₁. Но оператор выбора CHOOSE в соответствии с определением не может применяться к переменной, в отношении значения которой выбор был уже сделан, а само это значение было размещено в памяти Sp. Таким образом, независимо от того, противоречива теория T или нет, все равно выполнение данной ABT-программы завершится аварийно.

Очевидно, наряду с оператором, выбирающим объекты и размещающим их в памяти ABT-компьютера, необходим также оператор, аннулирующий результаты предшествующих актов выбора и освобождающий память для размещения новых объектов.

Оператор уничтожения DELETE. Его синтаксис предельно прост:

DELETE список переменных,

где список переменных не должен содержать повторных вхождений одной и той же переменной (ограничение не очень принципиальное, но упрощающее синтаксис и сохраняющее преемственность с аналогичным ограничением оператора CHOOSE). То же самое можно представить в другой форме:

DELETE V₀, V₁, V₂, … , V_n.

Теперь определим семантику рассматриваемого оператора. Если процессор Pr ABT-компьютера @ = <Ts, Sp, Pr> выполняет синтаксически правильную инструкцию I вида

DELETE V₀, V₁, V₂, … , V_n

и предусловие P

Sp(V₀) ≠ ∅ ⋀ Sp(V₁) ≠ ∅ ⋀ Sp(V₂) ≠ ∅ ⋀ … ⋀ Sp(V_n) ≠ ∅

ложно, выполнение завершается аварийно: произойдет авост.

Если P истинно, процессор Pr завершит выполнение инструкции I в состоянии, в котором будет истинным следующее постусловие:

Sp(V_i) = ∅ для всех i, 0 ≤ i ≤ n.

Воспользуемся оператором DELETE для вставки его в рассматриваемый пример ABT-программы в предположении, что теория T имеет модель в теории Ts (т.е. имеет модель, построенную средствами Ts) и память Sp бесконечна.

Расположить инструкцию с оператором DELETE в данной программе, содержащей всего две инструкции, можно тремя следующими способами.

π1	π2	π3
I1 CHOOSE X | X ⊨ T	I1 CHOOSE X | X ⊨ T	I1 DELETE X
I2 GOTO I1	I2 DELETE X	I2 CHOOSE X | X ⊨ T
I3 DELETE X	I3 GOTO I1	I3 GOTO I1

 

Заметим, что в качестве T нельзя взять Ts, поскольку получится построение модели Ts средствами Ts, что невозможно по теореме Гёделя о непротиворечивости (ведь Ts содержит арифметику).

Очевидно, ABT-программа π1 успешно работать не будет по той же самой причине, что и исходная программа. Зато с ABT-программой π2 всё в порядке: осуществив выбор модели теории T в соответствии с инструкцией I₁, процессор Pr перейдёт к выполнению инструкции I₂. Так как на этот момент предусловие Sp(X) ≠ ∅ истинно, процессор Pr завершит выполнение I₂ в состоянии Sp(X) = ∅ и, выполняя инструкцию I₃, перейдет по GOTO к I₁. Поскольку предусловие Sp(X) = ∅ истинно, инструкция I₁ будет вновь выполнена и т.д. – процесс выполнения программы π2 никогда не завершится.

Осталось проанализировать третью альтернативу. Для того чтобы выполнить ABT-программу π3, процессор Pr должен вначале выполнить инструкцию I₁, что возможно лишь в том случае, если Sp(X) ≠ ∅. Но в соответствии с постулатом существования объект X может появиться в памяти ABT-компьютера только в результате действия оператора CHOOSE, который должен выполняться после команды DELETE, так как выполнение инструкции I₁ с оператором DELETE предшествует выполнению инструкции I₂ с оператором CHOOSE в программе π3.

Казалось бы, из сказанного следует однозначный вывод: попытка выполнить ABT-программу π3 тут же завершится авостом. Однако это так только при условии принятия допущения о том, что процесс выполнения ABT-программ обязательно должен иметь начало. Применительно к обычным компьютерам и языкам программирования правомерность и даже неизбежность принятия данного допущения не вызывает сомнений. Но в случае ABT-компьютеров и ABT-программ оно выглядит не столь несомненным.

Действительно, предположим, что процесс выполнения ABT-программы π3 не имел начала, т.е. всякому очередному выполнению любой инструкции программы π3 предшествовало бесконечное число выполнений этой инструкции. Такое предположение непротиворечиво и потому вполне допустимо. В самом деле, перед тем, как в очередной раз выполнить инструкцию I₁, процессор Pr выполнил инструкцию I₃, а перед этим – инструкцию I₂, после чего ABT-компьютер перешел в состояние с Sp(X) ≠ ∅. Переход по GOTO к I₁ сохранил это состояние, так что истинность предусловия оператора DELETE была обеспечена. После успешного выполнения I₁ стало истинным утверждение Sp(X) = ∅, необходимое для выполнения I₂ и т.д.

Наглядно описанный процесс можно изобразить следующей схемой.

…, I₁, I₂, I₃, I₁, I₂, I₃, I₁, …

Таким образом понятый процесс выполнения программы π3 не имеет ни начала, ни конца, в отличие от традиционных вычислительных процессов, которые непременно когда-либо начинаются.

Интересное, на наш взгляд, различие между ABT-программами π2 и π3 заключается в том, что π3 можно выполнить только при условии отсутствия начала процесса выполнения, тогда как π2 выполнима независимо от того, имел процесс ее выполнения начало или нет. Гипотетический процесс выполнения π2, имеющий первый шаг, был описан выше. Что касается описания воображаемого выполнения π2 в ходе не имеющего начала процесса, то оно практически полностью повторяет соответствующее описание выполнения π3. Мы говорим о гипотетических или воображаемых процессах выполнения π2 потому, что если допустить наличие не имеющих начала процессов наряду с «нормальными», то на вопрос о том, процесс какого типа осуществляется при выполнении π2 на данном ABT-компьютере, нельзя ответить однозначно. С равным успехом это может быть как первая, так и вторая разновидность процессов.

Обсуждаемое различие важно для приложений в философии. Так, проблема начала времени не имеет устраивающего всех исследователей единственного решения. Если принимается тезис о том, что эта проблема неразрешима, то для моделирования течения времени больше подходит конструкция, аналогичная программе π2; принятие тезиса об отсутствии начала течения времени заставит прибегнуть к программам типа π3. Наконец, на языке ABT-программ нетрудно выразить и идею начала времени. Для этого достаточно перед выполнением бесконечного цикла выполнить инструкцию, которая больше уже выполняться не будет. Например, применительно к программе π2 достаточно добавить к списку её инструкций команду GOTO I₁.

π4

I0 GOTO I1

I1 CHOOSE X | X ⊨ T

I2 DELETE X

I3 GOTO I1

 

Полученная ABT-программа π4 может быть выполнена только в ходе процесса, имеющего начало. Действительно, первой будет выполнена инструкция I₀, а дальше возникнет бесконечный цикл. Схематически

I₀, I₁, I₂, I₃, I₁, I₂, I₃, I₁, … .

Идея о существовании не имеющих начала процессов требует ряда уточнений, которые здесь пропустим. В частности, пропущено обсуждение принимаемого в теории ABT-вычислимости постулата достижимости, в соответствии с которым в случае непротиворечивости предположения о выполнимости ABT-программы π эта программа будет успешно выполняться ABT-компьютером требуемой для этого мощности. Так, поскольку предположение о выполнимости π3 непротиворечиво, эта программа будет успешно выполняться любым ABT-компьютером с бесконечной памятью, способным реализовать условие X ⊨ T. При этом ABT-компьютер индетерминированным образом выбирает вариант реализации ABT-программы π, если π допускает неоднозначность исполнения. Пример такой ситуации являет программа π2, исполнение которой может иметь начало, а может и не иметь. Но в любом случае π2 будет выполнена либо по первому, либо по второму варианту.

3.3 ABTС-вычислимость и творение нового из ничего

Кратко опишем более общую, чем АВТ, теорию абстрактной индетерминированной АВТС-вычислимости, которая позволяет в прямом смысле творить новое из ничего.

Прежде всего отметим, что ABT-оператор выбора CHOOSE в определённом смысле уже является формальным средством моделирования новизны. Что же это за смысл? Поясним, обратившись к великолепной идее Творения по Г.Лейбницу. Лейбниц считал, выражаясь нашим языком, что акт Творения Мира состоял в выборе Богом одного из возможных (существующих в его уме) миров в качестве действительного. Правда, этот выбор нельзя назвать недетерминированным, поскольку Бог выбрал наилучший из всех возможных миров, т.е. выбора как такового у него не было: коль скоро наилучший мир единственный, всеблагой Создатель был вынужден взять именно этот мир. Но это издержки концепции Лейбница. Вполне можно допустить, что «хороших» миров много, и среди них нет выделенного, наилучшего. Так что действительно было из чего выбирать, причём недетерминированным образом.

Другой, более радикальный смысл понятия новизны связан с отказом от самой идеи выбора, пусть и недетерминированного, в акте творения нового. В самом деле, раз есть выбор, то, стало быть, есть и те возможности, из которых выбирают. Они уже существуют до акта выбора, вот в чём суть. В этом смысле они никакие не новые. Подлинная новизна появляется ниоткуда, из ничего. А из ничего и выбрать ничего нельзя.

Идеи Лейбница нашли формальное выражение в модальной логике, в семантике возможных миров. В этой семантике в каждой модели модального исчисления имеется определенное множество возможных миров, в котором один мир выделен в качестве действительного (правда, уже без атрибута «наилучший»). Что касается идеи радикальной новизны, то никаких формальных аналогов для неё не существует. Более того, согласно распространенному мнению, идея о творении из ничего носит мистический характер и рационально непостижима, не говоря уже о том, чтобы её формализовать.

С нашей позиции, проблема тут есть, и она не столь проста. Суть её в следующем. С точки зрения математики желательно, чтобы любые формальные структуры возникали закономерным образом. В идеале построение теории множеств, которую можно рассматривать как источник практически всех математических объектов, начинается с постулирования существования пустого и бесконечного множеств, из которых с помощью разрешенных операций получаются все другие множества. Правда, в жизни идеал оказался неосуществимым по причине отсутствия единого универсума множеств. Даже натуральный ряд оказался не единственным в силу наличия нестандартных моделей арифметики. Но это не отменяет главного: любой альтернативный универсум, коль скоро он считается заданным, устроен регулярным и предсказуемым образом. Так что никакие самые экзотические объекты из альтернативных универсумов не могут выступать в качестве примеров творения нового из ничего. Все их свойства предопределены, никакой их атрибут не может вдруг появиться или, напротив, быть утрачен.

Но в реальности свойства появляются и исчезают! Например, когда-то не существовало свойства Разумное животное, но ныне это свойство существует. Мы можем быть также уверены, что существует соответствующее этому свойству конечное множество разумных животных. Однако это вовсе не означает, что мы должны быть готовы моделировать такое множество посредством некоторого построения, начинающегося с пустой совокупности. Натуральные числа, к примеру, мы так и строим: объявляем, что 0 = ∅, 1 ={∅}, 2 ={∅,{∅}}, 3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} и т.д. Поведение получаемых объектов регулярно, закономерно и предсказуемо. Но не будет ли бессмысленным предположение, что подобным путем можно получить множество разумных животных? Нам представляется, что будет. Абсурдно полагать, что множество разумных животных возникнет по правилам теории множеств на каком-то этапе порождения множеств из пустой совокупности.

Не означает ли сказанное выше, что похоронена надежда на использование логики и математики в построении структур, которые можно было бы обоснованно считать способными выступать в роли появляющихся из ничего? Ведь логика и математика действительно имеет дело с регулярными, закономерными и предсказуемыми структурами. Или это не всегда так?

И всё же имеется исключение из общего правила. На роль иррегулярных объектов теории множеств мы предлагаем праэлементы или атомы. Атомы являются праэлементами потому, что они исходные объекты в том смысле, что не получены из каких-то ранее построенных множеств. Праэлементы являются атомами (неделимыми) потому, что им, как и пустому множеству ∅, ничего не принадлежит в качестве элемента. Тем не менее, они не равны пустому множеству. Атом привлекателен тем, что с чисто математической точки зрения он почти ничего из себя не представляет. Атомы настолько свободны от математических свойств, насколько это вообще представляется возможным. Тем не менее, они – чисто формальные объекты, которые могут быть введены в теорию множеств посредством соответствующих аксиом, как было показано. Именно это обстоятельство дает нам шанс для построения формальной модели творения нового из ничего. Делается это средствами языка программирования  АВТС.

Язык абстрактного программирования АВТС получается из языка АВТ добавлением оператора CREATE. Формально синтаксическую форму оператора CREATE можно представить в виде записи

CREATE V₀, V₁, V₂, … , V_n | условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n),

где V_i – некоторая переменная, причём переменные V_i и V_j различны, если i ≠ j. Всё выражение может быть прочитано как «Создать атомы или множества атомов V₀, V₁, V₂, … , V_n такие, что выполняется предикат условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n)».

Сформулируем условия выполнимости оператора CREATE в общем виде. Если ABT-компьютер @ выполняет синтаксически правильную инструкцию I вида

CREATE V₀, V₁, V₂, … , V_n | условие(V₀, V₁, V₂, … , V_n)

и предусловие P

Sp(V₀) = ∅ ⋀ Sp(V₁) = ∅ ⋀ Sp(V₂) = ∅ ⋀ … ⋀ Sp(V_n) = ∅

ложно, выполнение завершается аварийно: произойдет авост.

Если P истинно, процессор Pr пытается создать (сотворить из ничего) такие атомы или множества атомов S₀, S₁, S₂, … , S_n, которые, будучи присвоены в качестве значений переменным V₀, V₁, V₂, … , V_n соответственно, обеспечивают истинность условия инструкции I. Затем процессор Pr пытается разместить в памяти S p объекты S₀, S₁, S₂, … , S_n.

Если предположение о существовании атомов или множеств атомов, удовлетворяющих условию инструкции I и способных поместиться в свободной области памяти Sp, ведёт к противоречию, выполнение I завершается авостом. В противном случае (т.е. если указанное предположение непротиворечиво) выполнение I завершается успешно в состоянии, в котором истинны следующие два постусловия:

Sp(S_i) ≠ ∅ для всех i, 0 ≤ i ≤ n;

условие(S₀, S₁, S₂, … , S_n).

Обратим внимание, что предусловия и постусловия операторов CHOOSE и CREATE совпадают.

Завершим наши усилия сотворением нового атома из ничего в предположении, что памяти ABT-компьютера @ достаточно для размещения одного атома. Рассмотрим следующую элементарную АВТС-программу.

I₁ CREATE X | X ≠ ∅ ⋀ ∀Z(Z ∉ X)

В соответствии с постулатом существования, до выполнения этой программы Sp(X) = ∅. Условие X ≠ ∅ ⋀ ∀Z(Z ∉ X) указывает, что создаваемый X будет атомом (а не множеством атомов). В ходе выполнения оператора CREATE атом a, присваиваемый переменной X, появляется ниоткуда, возникает в истинном смысле из ничего. Но до выполнения оператора CREATE атом a в рамках уора @ не существовал ни в каком качестве, т.е. объект a будет абсолютно новым для @. После выполнения программы имеем Sp(a) ≠ ∅ и a ≠ ∅ ⋀ ∀Z(Z ∉ a).

Оператор CREATE позволяет создать сразу множество атомов.

I₁ CREATE X | X ≠ ∅ ⋀ ∃Y(Y ∈ X) ⋀ ∀Y(Y ∈ X → (Y ≠ ∅ ⋀ ∀Z(Z ∉ Y)))

В результате будет сотворено из ничего непустое множество атомов Å. Можно потребовать, чтобы это множество Å удовлетворяло всем аксиомам теории ZFAI. Для этого достаточно взять ABT-компьютер @ = <ZFAI, Sp, Pr> и выполнить следующую ABT-программу.

I₁ CREATE X | X = Å

Выполнение этой команды реализует в пространстве Sp какую-либо интерпретацию константы Å, соответствующую аксиомам ZFAI. При этом ошибочно полагать, что заранее существует некая область, из которой берётся данная интерпретация. Эта интерпретация индетерминированно создаётся, творится из ничего в ходе выполнения команды CREATE.

Содержательное истолкование множества Å заключается в рассмотрении его как совокупности уникальных событий, реализующихся в соответствующем уоре в текущем метамоменте. В соответствии с аксиомами I – III теории ZFAI, уникальные события из Å распадаются на два непустых не пересекающихся класса предикаторов Π и объектов Θ, связанных между собой функцией f из аксиомы IV. Появление в универсуме нового объекта естественно считать событием. Но в каком смысле события могут быть предикаторами? – В самом прямом. В разобранном выше примере событие появления предикатора r «триасовые пресмыкающиеся» произошло раньше события появления предикатора q «люди». Более того, событие возникновения предикатора q «люди» произошло тогда, когда живых представителей предикатора r «триасовые пресмыкающиеся» уже почти не осталось[20]. Таким образом, уникальные предикаторы появляются и исчезают из универсума вместе с соответствующими им уникальными объектами.

Программными средствами языка ABTC можно обеспечить надлежащую преемственность между текущим значением Å и уникальными событиями предыдущих и последующих метамоментов. Но это уже дело техники (к сожалению, непростой). С философской точки зрения важно то, что появляется принципиальная возможность моделирования появления в пространстве и исчезновения из него в ходе течения времени в уоре уникальных событий, смена которых образует модельный исторический процесс. В ходе этого процесса подлинно индетерминированного становления не только появляются и исчезают уникальные объекты, но и появляются и исчезают соответствующие им предикаторы, представляющие уникальные свойства и отношения.

[1] Cм. монографии: Анисов А.М. Темпоральный универсум и его познание. М.: ИФРАН, 2000. Анисов А.М. Время и компьютер: Негеометрический образ времени. Изд. 2-е. М.: ЛЕНАНД, 2021.

[2] См., напр., Голованов Н.Н., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Компьютерная геометрия: Основы дифференциальной геометрии и топологии. Основные понятия компьютерной геометрии. Геометрическое моделирование. Изд. 2-е, испр. М.: ЛЕНАНД, 2024.

[3] Анисов А.М. Ст. Лем о невозможности жизни и прогнозирования // Семиотические исследования. Semiotic studies. 2022. Т. 2, № 3. С. 8–17.

[4] Лем Ст. Абсолютная пустота // Лем Ст. Собр. Соч. в 13 т. Т. 10. – М.: «ТЕКСТ», 1995. С. 255–256.

[5] Там же. С. 253.

[6] Колесников А.В. Киберкосмизм. Цифровая философия темпорального универсума. Минск: Беларуская навука, 2022.

[7] Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. М.: Наука, 1985. С. 16.

[8] Колесников А.В. Киберкосмизм. С. 21.

[9] Там же. С. 40.

[10] Карнап Р. Философские основания физики: Введение в философию науки. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. Гл. 12.

[11] Колесников А.В. Киберкосмизм. С. 34.

[12] Полностью аксиомы теории ZFA приведены в статье: Анисов А.М. Будет ли морское сражение, и было ли оно? // «Credo new», 2024, № 2 (116). С. 11–39.

[13] Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М.: Мир, 1973. С. 125.

[14] Выражение «X непуст» означает не X ≠ ∅ (атомы тоже не равны пустому множеству, хотя они пустые), а ∃y(y ∈ X).

[15] Рассел Б. Введение в математическую философию. Избр. работы. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007. С. 205.

[16] Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. С. 14.

[17] Последнее по времени полное описание языка ABT и его расширения ABTC содержится в монографии: Анисов А.М. Современная логика и онтология. Кн. 2: Аксиоматические теории. Теория множеств. Модели времени. М.: ЛЕНАНД, 2022.

[18] Подробнее об уорах см. Там же. Гл.3. Раздел 3.2.

[19] Там же. Гл. 4. Раздел 4.1.

[20] По-видимому, за исключением гаттерии, ныне обитающей на некоторых небольших островах Новой Зеландии. Возможно, это редкое существо – последнее из оставшихся в живых представителей пресмыкающихся триаса.