Анисов Александр Михайлович. ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

 

Анисов Александр Михайлович

Институт философии РАН

доктор философских наук, профессор

Anisov Alexander Mihailovich

Institute of Philosophy RAS

PhD, professor

E-Mail: a.m.anisov@yandex.ru

УДК 1.16.160.1

ЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

 

 

Аннотация:  В статье ставится цель обосновать существование промежуточной области между логикой и многочисленными аксиоматическими теориями. Населяют эту область семиотические образования, которые сходны как с логикой, так и с теориями, в связи с чем их предлагается назвать логическими теориями. Базовыми примерами логических теорий будут модальные пропозициональные исчисления, а также первопорядковая теория равенства и разработанная автором первопорядковая теория неопределённости.

Ключевые слова: логика, теория, аксиома, исчисление, интерпретация, модальность, равенство, неопределённость.

 

LOGIC THEORIES

 

 

 

Abstract: The aim of the article is to substantiate the existence of an intermediate area between logic and numerous axiomatic theories. This area is inhabited by semiotic formations, which are similar to both logic and theories, in connection with which it is proposed to call them logical theories. The basic examples of logical theories will be modal propositional calculus, as well as the first-order theory of equality and the first-order theory of uncertainty developed by the author.

Key words: logic, theory, axiom, calculus, interpretation, modality, equality, uncertainty.

 

 

 

Данная работа является продолжением обсуждения проблемы природы логического, начатого в статье [3]. Внимание будет сконцентрировано на границе между логическим и теоретическим. Точнее, на вопросе, где кончается логика и начинается аксиоматическая теория? Аксиоматическую теорию обычно определяют как комбинацию логики и аксиом: Теория = Логика + Аксиомы. Однако это упрощение. Логику тоже можно представить в виде аксиоматической системы, содержащей аксиомы и правила вывода следствий из аксиом. Точнее сказать, что аксиомы логики логические, а аксиомы прочих теорий – не логические. Но как отличить логические аксиомы от не логических? Это настолько непростой вопрос, что ответить на него прямо не получится. Попробуем пойти обходным путём.

Что требуется от логики в науке? – Обеспечить возможность дедуктивно извлекать следствия из любых утверждений, независимо от того, насколько эти утверждения правдоподобны. Другое дело, что пригодность для последующего извлечения следствий определяется языком, на котором сформулированы утверждения. Если это естественный язык, то логика к нему непосредственно не применима. Сначала утверждения необходимо переформулировать на подходящем формальном (или хотя бы полу формальном) языке. Только после такого перевода можно будет приступить к выводу следствий.

 

Предположим, что надлежащий перевод сделан или что изначально утверждения формулировались на формальном языке. Дальше возникает проблема: какой логикой воспользоваться? Ведь, согласно распространённому мнению, логик много и даже очень много (некоторые логики утверждают, что их несчётное количество, т. е. для их пересчёта не хватит чисел стандартного натурального ряда). Мы попытаемся уменьшить их количество, продемонстрировав, что многие относимые к логикам системы являются скорее теориями, а не логиками.

Переформулируем данное выше предварительное определение теории: Теория = Логика (классическая или неклассическая) + (не логические) Аксиомы. Разумеется, это не итог, а лишь исходный пункт размышлений о том, что такое логическое в отличие от не логического. Необходим философский анализ природы логического и сути теоретического.

Начнём анализ с неклассических пропозициональных модальных логик. Первой рассмотрим логику Я. Лукасевича Ł3 (здесь индекс «3» указывает на трёхзначность, а не на порядковый номер). В ней определяются модальности и, что для нас существенно, она будет первым примером логической теории1. Эта логика сформулирована в языке { , ¬ }, содержащим неклассическую импликацию  и неклассическое отрицание ¬ (логические связки дизъюнкция ˅ и конъюнкция ˄ вводятся через импликацию и отрицание, но не так, как в классической логике2).

В техническом смысле логика есть интерпретированное исчисление. Соответственно, в Ł3 есть имеется как исчисление, так и его интерпретация. Интерпретация связок отрицания и импликации задана следующими трёхзначными таблицами, в которых наряду со значениями «истина» (1) и «ложь» (0) имеется третье истинностное значение «случайно» (½).

 

A ¬A
1 0
½ ½
0 1

 

A B AB
1 1 1
1 ½ ½
1 0 0
½ 1 1
½ ½ 1
½ 0 ½
0 1 1
0 ½ 1
0 0 1

 

Законами в логике Ł3 будут формулы, принимающие в результирующем столбце только значение «истина», т. е. значение 1.

Исчисление Ł3 содержит правило вывода modus ponens (m.p.), т. е. правило {A, AB}  B, позволяющее от посылок A и AB переходить к заключению B, и следующие четыре аксиомы.

  1. A  (BA)
  2. (AB)  ((BC)  (AC))
  3. A  ¬B)  (BA)
  4. ((A  ¬A)  A)  A

Легко проверить, что все аксиомы являются законами в Ł3, и что правило modus ponens обеспечивает переход от законов к законам. Тем самым исчисление Ł3 является семантически корректным: в Ł3 доказуемы только законы. Ещё проще удостовериться, что эти аксиомы являются также законами классической логики высказываний. Таким образом, в Ł3 доказуемы только законы классической логики. Обратное не верно. Есть законы классической логики, которые не выводятся в Ł3. Так, полный закон Пирса ((AB)  A)  A не доказуем в Ł3, хотя аксиома 4 является его частным случаем. Это означает, что множество законов логики Ł3 составляет собственную часть множества законов классической логики высказываний. Было также доказано, что исчисление Ł3 является семантически полным: всякий закон Ł3 доказуем в исчислении Ł3.

Семантическая корректность и полнота – одна из главных целей при построении логики. Тем не менее, в случае с Ł3 достижение этой цели не завершило задачу построения логики. Оказалось, что рассматриваемая логика функционально не полна. В функционально полной табличной логике для любой таблицы существует формула, эту таблицу описывающая. Т.е. формула должна иметь тот же самый результирующий столбец, что и в наперёд заданной таблице. Но в Ł3 это не так. Например, для нижеследующей простейшей трёх строчной таблицы не существует формулы A, содержащей единственную пропозициональную переменную p, которая имела бы результирующий столбец [½, ½, ½]. Как бы мы ни комбинировали переменную p, применяя импликацию и отрицание, нужного столбца мы не получим.

p ???
1 ½
½ ½
0 ½

Для исправления ситуации была введена новая унарная логическая связка T, которая даёт значение ½ независимо от исходного значения формулы, на которую действует эта связка.

A TA
1 ½
½ ½
0 ½

Для новой связки пришлось добавить к имеющимся четырём аксиомам Ł3 ещё две.

  1. TA  ¬TA
  2. ¬TA  TA

А эта операция существенно меняет дело. Формулы пятой и шестой аксиом не имеют аналогов ни в исходной логике Ł3, ни в классической логике, поскольку в классической логике (тем более, в её собственной части Ł3) не существует такой формулы A, для которой как A  ¬A, так и ¬AA были бы законами. Таким образом, аксиомы 5 и 6 нетривиально расширяют исходную логику. Но это и означает, что полученная теория с аксиомами 1–6 является в чистом виде логической теорией. С одной стороны, это логическая теория, поскольку она дополняет исходную логику Ł3 новыми аксиомами в расширенном языке, а с другой стороны, это логическая теория, т. к. указанные аксиомы управляют истинностными значениями (что присуще именно логике).

В качестве второго примера логических теорий возьмём пропозициональные алетические модальные логики ([1], С. 202–208). Алетическими модальностями называют высказывания, начинающиеся со слов «необходимо A», «возможно A» или «случайно A». Базовой логикой здесь является классическое исчисление высказываний (КИВ), для компактности сформулированное, как и логика Ł3, в языке { , ¬ }. Аксиомами КИВ являются следующие три схемы формул.

  1. A  (BA)
  2. (A  (BC))  ((AB)  (AC))
  3. A  ¬B)  (BA)

Единственным правилом вывода является m.p. Дизъюнкция A ˅ B и конъюнкция A ˄ B вводятся в КИВ определениями A ˅ B =df ¬AB и A ˄ B =df ¬(A  ¬B).

Далее язык расширяется добавлением унарного оператора □, так что теперь, если A формула, то и □A формула, которая читается как необходимо A. К правилу вывода m.p. добавляется правило Гёделя (G): ⱵA  Ⱶ□A. (если A теорема, то и □A теорема). Две оставшиеся алетические модальности вводятся посредством определений. Оператор возможности обозначается ромбом ◊ и определяется посредством равенства ◊A =df ¬□¬A. Так что возможно A (◊A) определяется как неверно, что необходимо не A. Отметим, что в качестве исходного модального оператора можно взять оператор возможного ◊, приняв определение □A =df ¬◊¬A, т. е. необходимо A определяется как неверно, что возможно не A. Для случайности нет общепринятого обозначения. Введём оператор случайности ○ и разрешим формулы вида ○A (случайно A), приняв определение ○A =dfA ˄ ◊¬A. Получилось, что случайно A означает, что возможно A и возможно не A.

Осталось добавить к КИВ новые аксиомы, описывающие поведение оператора необходимости □. Оказалось, однако, что однозначно этого сделать нельзя: понимание необходимости различно в разных модальных системах. В так называемых нормальных системах ([6], с. 255) лишь схемы формул □(AB)  (□A  □B) и □AA являются общими аксиомами. Остальные аксиомы отличаются от системы к системе.

В принципе, применительно к теориям, ничего необычного нет. Напротив, это типичная ситуация для теорий: нет одной теории порядка, одной теории групп, одной теории геометрии, одной теории множеств и т. д. Например, в теориях порядка одинаковыми являются лишь аксиомы, задающие общее понятие частичного упорядочения. А далее к ним добавляются различные аксиомы, задающие всевозможные разновидности порядков: теории линейного порядка, плотного порядка, дискретного порядка, ветвящегося порядка и т. д. ([2], с. 38–48]).

Вопрос об интерпретации модальных систем представлял из себя проблему. Но не всегда. Так, Я. Лукасевич предложил для своей трёхзначной логики Ł3 следующее табличное определение возможности и необходимости.

A A A
1 1 1
½ 1 0
0 0 0

При этом оператор возможности ◊ определяется через отрицание и импликацию: ◊A =df ¬A . Данное определение позволяет ввести оператор необходимости обычным образом: □A =df ¬◊¬A. Тем самым в Ł3 нет необходимости вводить специальные аксиомы для модальностей. Все модальные теоремы будут содержаться среди прочих теорем Ł3 в соответствии с введёнными определениями.

Однако, было доказано, что, в отличие от модальной трёхзначной логики Лукасевича, для базирующихся на классической пропозициональной логике нормальных модальных систем не существует финитных характеристических таблиц. Т. е. нет таких конечных таблиц, в которых формула принимает выделенное значение3 тогда и только тогда, когда она является теоремой системы ([9], с. 86). Философски приемлемый выход был найден в построении для модальных логик семантики возможных миров. Идея существования, наряду с действительным, множества возможных миров была высказана Г. Лейбницем. Формальная разработка этой идеи привела к успеху в философски адекватной интерпретации модальной логики.

Возможные миры могут быть представлены произвольным непустым множеством объектов, один из которых наделён статусом действительного мира. Между мирами устанавливается бинарное отношение достижимости с теми или иными свойствами, от которых зависят истинность или ложность модальных формул (в этой интерпретации есть только два истинностных значения, как и в классической логике). Так, истинность «нормальной» аксиомы □AA обеспечивается рефлексивностью отношения достижимости (каждый мир достижим из самого себя). В случае других модальных аксиом могут потребоваться дополнительные свойства достижимости: симметричность, транзитивность и т. п.4

В целом получается, что описываемые в литературе модальные системы K, T, B, S4, S5 (перечисленные системы рассматриваются в [1]) и другие являются, с философской точки зрения, не логиками, а логическими теориями, по-разному трактующими алетические модальности. Так, система K содержит единственную модальную аксиому □(AB)  (□A  □B). Схема формул □AA в ней не доказуема (тем самым K не относится к нормальным системам), но может быть добавлена в качестве новой аксиомы, что даст минимальную нормальную систему T. В системе K на отношение достижимости не налагается никаких требований, тогда как в системе T оно обязано быть рефлексивным. И т. д. Как уже отмечалось, ситуация типична для теорий. Вместе с тем, разные модальные принципы требуют разных условий истинности в виде ограничений на свойства отношения достижимости между возможными мирами. А условиями истинности, как тоже уже отмечалось, занимается именно логика. Тем самым алетические модальности не чисто логические, но и не чисто теоретические понятия. Они принадлежат области, промежуточной между логикой и теорией.

Кому-то всё это может показаться не существенным, спором о словах. Дескать, считать модальные системы логиками или не считать – зависит от договорённостей об употреблении слов. Но спор не о словах, а о природе логического (см. [3]). Подлинно логические законы универсальны, должны быть истинны во всех возможных мирах. Если же в каких-то мирах законы имеют место, а в других нет, то это уже не законы логики, а законы различных предметных областей, принадлежащие не логике, а соответствующей теории. Даже если теория задаёт условия истинности, это делает её логической теорией, но не делает логикой. Законы классической логики (и пропозициональной её части, и первопорядковой логики предикатов) истинны во всех возможных мирах, представленных в универсуме всевозможных непустых множеств. А это самый обширный универсум из известных человеку на сегодняшний день. Законы модальной логики таким универсализмом не обладают. Их интерпретация в терминах семантики возможных миров ограничена свойствами отношения достижимости, которые отнюдь не универсальны.

Оставшаяся часть статьи будет посвящена логическим теориям, основывающимся на классической логике предикатов первого порядка. Формальное описание этой логики намного сложнее описания рассмотренных выше пропозициональных логик. Поэтому здесь оно приводиться не будет5. Ограничимся несколькими пояснениями.

В классической пропозициональной логике предполагается наличие исходного неограниченного множества атомарных ситуаций (или фактов, или положений дел) какой угодно природы: 2 × 2 = 4, 2 × 2 = 5, Снег бел, Снег чёрен, Идёт дождь, Солнце – белый карлик Луна сделана из зелёного сыра и т. д., и т. п. Пропозициональные переменные p0, p1, … pn, … «пробегают» по всем этим ситуациям с двумя возможными результатами: либо ситуация, на которую указывает переменная pi, имеет место в реальности, и тогда пропозиция pi оценивается как истинная или имеющая значение 1, либо эта ситуация отсутствует в реальности, и тогда пропозиция pi оценивается как ложная или имеющая значение 0. Составные пропозиции, представляющие составные ситуации, образуются из атомарных посредством логических связок: отрицания (¬), импликации (), конъюнкции (˄), дизъюнкции (˅) и др. Истинностные значения составных пропозиций однозначно определяются по истинностным значениям исходных атомарных пропозиций в соответствии с двузначными табличными определениями связок.

Онтологическая основа логики предикатов первого порядка устроена существенно сложнее. В качестве исходного берётся какой-либо непустой универсум индивидов U. На нём задаются свойства индивидов, представленные подмножествами из U, и n-местные отношения между индивидами, представленные подмножествами из n-местных декартовых произведений U1 × U2 × … × Un, где U = Ui = Uj для всех индексов i и j. Например, возьмём в качестве универсума индивидов множество натуральных чисел Ω = {0, 1, 2, …, n, …}. Свойство «Быть чётным» будет представлено подмножеством {0, 2, …, 2n, …} из Ω. Двухместное (бинарное) отношения < (меньше) на натуральных числах есть подмножество всевозможных пар чисел вида (n, m) из Ω × Ω таких, что n < m (читается «n меньше m»). Трёхместное (тернарное) отношение «находиться между» будет подмножеством всевозможных троек чисел (n, k, m) из Ω × Ω × Ω таких, что n < k < m (может быть прочитано как «k находится между n и m»). И т. д.

Существенно усложняется и язык. Вместо пропозициональных переменных появляются индивидные переменные x, y, z, x0, x1, …, xn, …, «пробегающие» по индивидам из универсума U. Помимо индивидных переменных в языке могут присутствовать индивидные константы – собственные имена некоторых индивидов. Логические связки остаются прежними, но к ним добавляются кванторы всеобщности Ɐ и существования Ǝ. Необходимо, чтобы в языке имелся хотя бы один предикатный символ для обозначения какого-либо свойства или отношения. Возвращаясь к универсуму чисел Ω, введём в язык индивидные константы 0, 1, 2 (обозначающие числа 0, 1, 2), унарный предикатный символ E для обозначения свойства «Быть чётным» и бинарный предикатный символ < для обозначения бинарного отношения «меньше» <. Примерами формул в языке первого порядка будут выражения E(x), ¬E(x), E(2), ¬E(1), x < y, ((x < y) ˄ (y < z))  (x < z), ƎxE(x) (читается «существует чётный x»), ⱯxƎy(x < y) (читается «для всякого x найдётся y такой, что x меньше y»). И т. п.

Отметим, что формулы E(x), ¬E(x) и x < y в их естественной интерпретации не истинны и не ложны: при одних конкретных значениях x и y они истинны, при других – ложны. Но формула E(x) ˄ ¬E(x) будет всегда ложной, независимо от выбора значения x, поскольку никакое число не может быть и чётным, и не чётным. Эта формула – пример противоречия. Напротив, формула ((x < y) ˄ (y < z))  (x < z) является теоремой арифметики (теорема о транзитивности отношения <) и потому будет истинной независимо от выбора конкретных значений переменных x, y и z. Следовательно, будет истинной и формула

xyz((x < y) ˄ (y < z))  (x < z).

Остальные формулы из примера примут значение истина. Соответственно, их отрицания будут ложными.

Исчисление предикатов может быть сформулировано в аксиоматическом виде, но для практического его применения гораздо более эффективным является натуральное исчисление предикатов, которое состоит из набора логических правил введения и удаления логических связок и кванторов. В [1] дан авторский вариант натурального исчисления предикатов, дополненный правилом введения и удаления символа выводимости Ⱶ. Это позволяет оперировать утверждениями о наличии выводимостей на уровне объектного языка (тогда как стандартно эти утверждения относят к метаязыку).

В качестве примера ограничимся правилом введения квантора всеобщности Ɐ (сокращённо Ɐв), в чём-то аналогичное правилу Гёделя G в модальных системах. Правило Ɐв разрешает, при соблюдении некоторых условий, переход от выводимости Г Ⱶ A(x) к выводимости Г Ⱶ ⱯxA(x). В частности, при пустом множестве посылок Г, правило Ɐв приобретёт вид Ⱶ A(x)  Ⱶ ⱯxA(x), содержательный смысл которого в том, что если мы умеем доказать формулу A(x) при произвольном x, то тем самым мы умеем доказать формулу A(x) для всех x, т. е. доказать ⱯxA(x). Одной из самых знаменитых теорем, доказанных с помощь этого правила, является диагональная теорема Г. Кантора о невозможности пересчитать множество всех бесконечных (0,1)-последовательностей посредством чисел натурального ряда: как только мы допускает, что такой пересчёт найден, по нему тут же строится (0,1)-последовательность, которая в пересчёт не попала. Это верно для произвольного пересчёта. Следовательно, то же самое верно для всех пересчётов.

Поскольку построение выводов в первопорядковом исчислении предикатов оказывается за рамками данной статьи, поступим следующим образом. Будем предполагать, что все законы первопорядковой логики уже доказаны в соответствующем исчислении в качестве теорем. Обозначим это множество теорем классического исчисления предикатов аббревиатурой КИП. Через АКС обозначим множество прикладных аксиом, т. е. таких аксиом, которые не являются теоремами логики.

Первопорядковой теорией, или просто теорией, будем называть множество [КИП  AКС], являющееся замыканием множества КИП  AКС отношением выводимости Ⱶ. Формально это означает, что если формула A выводима из КИП  AКС, т. е. КИП  AКС Ⱶ A, то A  [КИП  AКС]. Содержательный смысл этих определений прост: теорией мы называем множество теорем логики плюс всё, что выводится из прикладных (не логических) аксиом посредством применения логики.

Не испортит ли определение теории случай, когда множество аксиом АКС пусто? Полагаем, что нет. Логика тоже является теорией, но особого рода: в ней нет прикладных аксиом, описывающих частные области реальности. В этом смысле логика есть минимальная теория Tmin, причём такая, что она является собственной частью любой другой теории. В терминах отношения включения множеств (а теории мы и рассматриваем как множества теорем) можно записать, что для любой теории T имеет место включение Tmin  T (в частности, Tmin  Tmin). Так что будем считать законным равенство КИП = Tmin.

На противоположном полюсе находится тривиальная теория Tmax, множество теорем которой совпадает с множеством всех формул языка. Тогда для любой теории T выполнено включение T  Tmax. Теория Tmax будет противоречивой, поскольку в ней найдётся формула A такая, что теоремами будут как A, так и ¬A. Более того, Tmax может быть названа абсолютно противоречивой, поскольку в ней доказуемо всё, что угодно. В классической логике понятия противоречивой и абсолютно противоречивой теории совпадают (из-за закона (A  (¬A  B)). Но в так называемых паранепротиворечивых логиках из противоречия не следует всё, что угодно, так что понятия противоречивости и абсолютной противоречивости в них удаётся развести.

Важный имеющий философское значение факт связан с метатеоремой дедукции (т. е. теоремой, доказанной в метаязыке), имеющей место как в классической, так и в некоторых неклассических логиках. Согласно этой метатеореме, любой логический вывод формы A1, A2, …, AnB (сохраняющий логическое следование вывод из допущений A1, A2, …, An заключения B) может быть преобразован в вывод A1, A2, …, An-1 Ⱶ (AnB) (т. е. в вывод из допущений A1, A2, …, An-1 заключения AnB). Повторяя эту процедуру n раз, в конце концов получим выражение

Ⱶ (A1  (A2  … (An-1  (AnB)…),

которое означает, что формула (*)

(A1  (A2  … (An-1  (AnB)…)

является теоремой логики, т. е. формула (*) доказуема в логике (разумеется, тут наличествует только общая схема обсуждаемой формулы, которая в каждом отдельном случае должна быть заполнена конкретным содержанием).

Теперь представим, что формулы A1, A2, …, An являются аксиомами некоторой теории, а формула B – теорема этой теории. Тогда всё равно формула (*) есть теорема логики, а не специфическая теорема рассматриваемой теории. Получается, что любая теорема любой аксиоматической теории является заключением определённой (выше описанным образом) логической теоремы! Иными словами, нет никаких специфических приёмов доказательств арифметических, геометрических, теоретико-множественных и любых иных теорем. Доказательства в любых аксиоматических теориях содержат только логические шаги. И. Кант ошибался, когда полагал, что доказательства в арифметике опираются на иные априорные формы чувственности, чем доказательства в геометрии. На самом деле доказательства – чисто логические конструкции.

Таким образом, логика служит единым аппаратом дедукции для любой сколь угодно экзотической аксиоматической теории. Логику можно поменять, но при наличии в ней метатеоремы дедукции сути дела это не изменит. Теории в таких логиках не обладают собственными методами доказательств, а вынуждены заимствовать их из логики. Тем самым любая аксиоматическая теория базируется на логике и лишена возможности что-то строго доказывать не логическими средствами.

Данная статья посвящена логическим теориям. Не прольёт ли дополнительный свет на них ответ на вопрос, что такое логические понятия? В статье [12] Альфред Тарский предложил следующий подход к трактовке логических понятий. Понятие является логическим, если оно инвариантно относительно всех взаимно-однозначных отображений универсума на себя. ([12], С. 149). В самой статье Тарского нет дальнейших подробностей. В ней фактически вообще нет формул, только словесные пояснения и примеры. Предположительно, эта особенность статьи объясняется тем обстоятельством, что текст статьи возник из материалов записи лекции Тарского и был опубликован уже после его смерти. Попробуем уточнить, что имеется в виду.

Для произвольного непустого универсума индивидов U рассмотрим класс FU всех взаимно-однозначных отображений U на себя. Иными словами, каждое отображение (функция) f из FU имеет в качестве и области определения, и области значения множество U. При этом обратное отношение f* удовлетворяет условию: для любых u, v из U если f(u) = v, то f*(v) = u (тем самым для любого f из f  FU следует f*  FU).

Свойство P, являющееся подмножеством U, будет инвариантным относительно FU тогда и только тогда, когда для любого u, u  P влечёт f(u)  P для любого f из FU. Свойство P будет логическим (по Тарскому), если оно для любого универсума U инвариантно относительно FU. Как указывает Тарский ([12], с. 150), существует всего два логических свойства: универсальное свойство, когда P = U, и пустое свойство, когда P = . Для универсального свойства утверждение очевидно. Что касается пустого свойства P = , то здесь нужно учесть, что высказывание u  P в этом случае ложно для всех u, откуда мета языковая импликация u  P  f(u)  P истинна для всех u и f, что и требуется для доказательства инвариантности.

Бинарное отношение R, являющееся подмножеством U × U, будет инвариантным относительно FU тогда и только тогда, когда для любых пар (u, u’), (u, u’)  R влечёт (f(u), f(u’))  R для любого f из FU. Отношение R будет логическим (по Тарскому), если оно для любого универсума U инвариантно относительно FU. Бинарных логических отношений существует ровно четыре: универсальное отношение, пустое отношение, отношение равенства и противоположное ему отношение различия или разнообразия ([12], с. 150).

Универсальное отношение R = U × U содержит всевозможные пары элементов (u, u’) из U. Пустое отношение R =  ничего не содержит. Обоснование того, что это логические отношения, вновь очевидно. Отношение равенства R= состоит из всех пар вида (u, u). Предположим, что (u, u)  R=, но (f(u), f(u))  R. Но это невозможно, т. к. f – функция, по любому аргументу однозначно определяющая значение на этом аргументе. Отношение различия R содержит всевозможные пары элементов (u, u’) из U, в которых uu’. Допустим, что (u, u’)  R, но (f(u), f(u’))  R. Это означает, что f(u) = f(u’). Поскольку uu’, получается, что функция f не является взаимно однозначной, в противоречии с условием.

Логические отношения большей местности Тарским не рассматриваются, да и нам в наших целях достаточно будет двух логических свойств и четырёх логических бинарных отношений. Не вступая в дискуссию, насколько адекватным является подход А. Тарского к определению логических понятий, обратимся к центральному вопросу нашей статьи: какие логические теории могут точно описать рассматриваемые логические, по Тарскому, свойства и отношения?

Для универсальных и пустых свойств и бинарных отношений проблема решается тривиально. Достаточно к логике (в языке, содержащем унарный предикатный символ P и бинарный предикатный символ R) добавить следующие аксиомы. Для теории универсальных P и R потребуются аксиомы ⱯxP(x) и ⱯxyR(x, y). Для пустых P и R – аксиомы Ɐx¬P(x) и Ɐxy¬R(x, y). Но ни одна из этих четырёх аксиом, точно описывающая логическое (согласно Тарскому) понятие, не является теоремой логики, т. е. данные аксиомы относятся к прикладной, вне логической области! Получается, что здесь мы в чистом виде имеем дело с логическими теориями: они логические, поскольку содержат только логические понятия, но они же и выходящие за рамки логики теории, поскольку их аксиомы не являются теоремами логики. Более того, аксиомы ⱯxP(x) и Ɐx¬P(x), а также ⱯxyR(x, y) и Ɐxy¬R(x, y) противоречат друг другу, так что логически невозможно создать непротиворечивую теорию, в которой одно и тоже понятие является и универсальным, и пустым. Но такое положение дел опять-таки типично для теорий (абелевы и не абелевы группы, линейные и нелинейные порядки и т. п.).

Ситуация с двумя оставшимися логическими, по Тарскому, понятиями равенства и различия существенно сложнее. Точнее, достаточно аксиоматически описать первое из этих двух понятий. Тогда второе можно будет получить простым определением. Имея понятие равенства, понятие различия можно определить как эквиваленцию6 (xy) ↔df ¬(x = y). Осталось аксиоматически описать равенство. Но тут и появляются проблемы, требующие отдельного обсуждения.

Начнём с терминологических замечаний. Иногда различают смысл слов «равенство» и «тождество». Скажем, применительно к выражениям 2 × 2 = 4 и 4 = 4 в первом случае говорят о равенстве, во втором – о тождестве, что наводит на мысль, будто равенство и тождество различные отношения. С позиции логики, равенство и тождество – это различные слова для обозначения одного и того же бинарного отношения. Нет логических оснований для различения отношения « = » в первом и во втором выражении. Мы же не считаем утверждения 2 ≤ 4 и 4 ≤ 4 выражениями с различными отношениями. Возникает вопрос, как обозначать равенство (тождество) в объектном языке? Если оставить для метаязыка привычное обозначение « = », то для объектного языка порой вводят особое обозначение. Например, в книге [4] объектное равенство обозначается символом « ≡ ». Такое удвоение обозначений правильно, но на практике неудобно. Тем более, что из контекста обычно вполне ясно, идёт ли речь о языке-объекте или о метаязыке. Поэтому будем обозначать одним и тем же символом как объектное, так и метаязыковое равенство, полагаясь в отношении ясности на контекст.

 

В претендующих на философичность текстах неоднократно приходилось сталкиваться с рассуждениями, в которых проблему равенства a = b видят в условиях, при который два объекта a и b равны между собой. Дальше может последовать диалектическое умозаключение о том, что поскольку двух одинаковых объектов не бывает, равенство неизбежно заключает в себе различие и т. п. Но если вы сказали два объекта a и b , то эти объекты заведомо не равны и утверждение a = b попросту ложно. Идея равенства заключается в том, что оба знака a и b указывают на один и тот же денотат, а проблема равенства состоит в том, как это установить.

Есть похожее на равенство бинарное отношение эквивалентности, которое в литературе обозначают по-разному. Остановим выбор на значке ∼. Тогда выражение ab читается как «a эквивалентно b». Теория эквивалентности задаётся присоединением к логике следующих трёх аксиом рефлексивности, симметричности и транзитивности.

  1. x ~ x (рефлексивность)
  2. (x ~ y)  (y ~ x) (симметричность)
  3. ((x ~ y) ˄ (y ~ z))  (x ~ z) (транзитивность)

Отношение равенства также рефлексивно, симметрично и транзитивно, являясь, таким образом, частным случаем отношения эквивалентности. Если ab , то это не влечёт a = b,  т. к. денотаты знаков a и b могут оказаться различными. Денотаты могут быть эквивалентны между собой, но всё же различны. К примеру, композиторы Р.Вагнер и Дж.Верди оба родились в 1813 г., так что высказывание «Вагнер одногодок Верди» истинно. Поскольку отношение х одногодок у является отношением эквивалентности (проверка тривиальна), воспользуемся введённым обозначением эквивалентности: Вагнер ∼ Верди. Но отсюда никак не следует, что Вагнер = Верди, т. е. что речь идёт об одном и том же индивиде. На самом деле это два разных человека. Впрочем, иногда может получиться, что и высказывание ab, и высказывание a = b вместе истинны. Скажем, Аристотель является одногодком Стагирита, т. е. Аристотель ∼ Стагирит, но, поскольку Аристотель и Стагирит – это два имени одного и того же индивида, можем одновременно утверждать Аристотель = Стагирит. Важно то, что так бывает не всегда, поэтому истинность ab не гарантирует истинности a = b , и потому из ab не следует a = b.

 

Обратное имеет место: при любой интерпретации J, если J(∼) есть отношение эквивалентности, то имеет место импликация a = bab. Словесно, в каждой интерпретации любые равные индивиды будут эквивалентными. Но в каком смысле эквивалентными? Мы видели, что за обозначением эквивалентности « ∼ » могут скрываться различные конкретные реализации (само равенство x = y, отношение х одногодок у, отношение AB на формулах и т. д.). Вот это, оказывается, неважно! Что бы конкретное ни подразумевалось под отношением эквивалентности ∼ функцией интерпретации J, если a = b при J , то будет a ∼ b при J. Действительно, предположим, обеспечивая истинность формулы a = b , J(a) = q и J(b) = q . Допустим также, что J(∼) есть отношение эквивалентности и при интерпретации J истинно ¬(a ∼ b). Тогда в модели имеем (J(a), J(b) > ∉ J(∼) , откуда (q, q) ∉ J(∼), что противоречит рефлексивности отношения эквивалентности J(∼).

 

Получается, что отношение равенства сильнее отношения эквивалентности в логическом смысле: при указанных условиях равенство a = b влечёт ab , но не наоборот. Взглянем на ситуацию с семантической точки зрения. Отношение эквивалентности разбивает универсум на непустые непересекающиеся классы (это известный факт; доказательство можно найти, напр., в [2], с. 29–30). Но равенство также является отношением эквивалентности. Так чем же разбиение, соответствующее равенству, отличается от общего случая разбиения по эквивалентности? Это должно быть особое, выделенное разбиение. После приведённых рассуждений и примеров можно догадаться: это предельно дробное разбиение, не допускающее дальнейшего деления. Таковым будет разбиение исходного универсума на синглетоны, т. е. одноэлементные множества. Значит, для любого u из универсума U есть один-единственный элемент, эквивалентный u – это само u. Такая предельная эквивалентность обеспечивает равенство: из uu’ получаем u = u’ для любых u и u’ из U, поскольку u и u’ принадлежат одному и тому же синглетону.

 

В целом с семантических позиций понятие равенства удалось прояснить. Но в объектном языке нет ни универсумов, ни разбиений. Его сигнатура содержит только бинарный символ равенства. Какие же дополнительные аксиомы надо принять, чтобы обеспечить не просто эквивалентность, а равенство? Или это невозможно?

 

В своё время немецкий философ Готфрид Лейбниц предложил решение проблемы, которое он назвал принципом тождества неразличимых. В вольном изложении этот принцип можно сформулировать так: если всё, что можно сказать об одном индивиде, можно сказать о другом, и наоборот, то речь идёт об одном и том же индивиде, а не о двух индивидах. Надо только уточнить, что означают слова «что-то сказать об индивиде». В логике что-то сказать об индивиде a – значит приписать a свойство или указать на отношение, в которое a вступает с другими индивидами. Тогда получается, что принцип тождества неразличимых требует следующих действий. Исследуя индивиды a и b на предмет их равенства, необходимо проверить все предикаты вида A(x), где переменная x – единственная, имеющая свободные (не связанные кванторами) вхождения в A(x). Такой предикат представляет свойство. Формулы A(a) и A(b) , полученные их A(x) заменой переменной x на имена a и b соответственно, будут пропозициями, утверждающими, что индивиды a и b обладают свойством A. Если найдётся предикат A(x) такой, что A(a), но ¬A(b), или, наоборот, ¬A(a) , но A(b), заключаем: следовательно, ab. Если же для любого предиката A(x) имеет место либо A(a) и A(b) , либо ¬A(a) и ¬A(b), то заключаем: следовательно, a = b.

 

Эта замечательная программа явного определения равенства наталкивается на одно препятствие: выше приведённое рассуждение использовало квантификацию не по индивидам, а по предикатам (выражения все предикаты и найдётся предикат), что выводило его за границы логики первого порядка в область логики второго порядка. В стандартной интерпретации логики второго порядка принимается, что переменные по свойствам «пробегают» по всем подмножествам универсума U. Столь мощная способность приводит к неприятному итогу. Если в первопорядковой логике всякая непротиворечивая теория имеет модель, т. е. может быть реализована в каком-то возможном теоретико-множественном мире, то во второпорядковой логике не всякая непротиворечивая теория имеет модель (пример такой не имеющей модели непротиворечивой теории приводится в [8], с. 149). В этой связи говорят, что первопорядковая логика полна, тогда как второпорядковая не полна.

Выход был найден в том, чтобы, отказавшись от попытки дать явное определение равенства в логике первого порядка, взять предикат равенства в качестве исходного, а затем аксиоматически определить его в неявном виде, по возможности удержав существенные характеристики равенства, выявленные ещё Лейбницем. Первопорядковая теория равенства T= строится в языке, содержащем бинарный предикатный символ =. Аксиомы теории T= следующие.

 

  1. x = x
  2. ((x1 = y1) ˄ (x2 = y2) ˄ … ˄ (xn = yn))  (A(x1, x2, …, xn)  A(y1, y2, …, yn))

 

Первая аксиома A1 – это уже знакомая аксиома рефлексивности. Вторая аксиома A2 на самом деле схема аксиом, порождающая бесконечное множество представляющих её конкретных формул. Поскольку каждая аксиома по определению является теоремой, к ней можно применить правило Ɐв. Для аксиомы А1 это даст теорему Ⱶ Ɐx(x = x) и т. д.

 

С содержательной точки зрения, первая аксиома A1 понятна: она постулирует, что каждый индивид равен самому себе. Вторая аксиома A2 идейно восходит к принципу тождества неразличимых. Она утверждает, что если индивиды x1, x2, …, xn вступают в отношение A, то равные им индивиды y1, y2, …, yn также окажутся в отношении A. Какие конкретно отношения взять в качестве A – зависит только от выразительных возможностей языка расширенной теории T, строящейся на базе теории равенства T=. Ведь смысл второй аксиомы в том, что A – любое отношение, выразимое в языке теории T, хотя в самой аксиоме незаконный оборот «любое отношение» не используется.

 

Читатель, конечно, уже обратил внимание, что в списке аксиом равенства отсутствуют аксиомы симметричности и транзитивности. Беспокоиться не надо, потому что теперь эти аксиомы выводятся в качестве следствий аксиом равенства. Доказательства можно найти в [1], с. 34–35. Таким образом, в теории равенства отношение « = » оказывается рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. е. это отношение эквивалентности, что и требовалось. Но будет ли реализована идея о том, что отношение равенства порождает предельное разбиение любого универсума на синглетоны? Как ни покажется странным, однозначного ответа на данный вопрос в логической литературе нет.

 

Дело в том, что часть логиков (не только А. Тарский) считает равенство логическим отношением. При таком подходе постулируется, что в любой интерпретации языка, содержащего бинарный символ равенства =, ему будет сопоставлено отношение настоящего равенства R=, состоящего из всех пар вида (u, u). Тем самым символу = языка-объекта сопоставляется настоящее равенство R= в модели. Ведь любое u ∈ U равно только самому себе. Это автоматически обеспечивает разбиение универсума U на синглетоны, т. е.  реализуется соответствующее отношению равенства предельное разбиение универсума. Поскольку символ равенства в любой модели интерпретируется одинаково, можно вообще обойтись без упоминания функции интерпретации, подобно тому, как логические связки и кванторы не входят в область определения этой функции, ибо трактуются независимо от неё. Например, именно так понимается равенство в книге ([11], с. 37), в которой функция интерпретации определяется на символах предикатов, отличных от знака равенства.

 

Другая часть логиков следует естественному ходу построения логических языков и исчислений, которые вполне обходятся без знака равенства на объектном уровне. Обратим внимание, что до сих пор мы также обходились без символа равенства в синтаксической части не только пропозициональных, но предикатных исчислений, включая сюда аксиоматическую теорию эквивалентности. Получается, что символ равенства не является необходимым при построении логики. Кроме того, аксиомы равенства больше похожи на аксиомы прикладных теорий, описывающий разные области потенциального или актуального бытия, а не на логические аксиомы, истинные во всех возможных мирах. Например, в книге ([5], с. 104) аксиомы равенства отнесены к не логическим аксиомам.

 

Мы присоединимся к второй позиции по той философской причине, что выполнение аксиом равенства в модели гарантирует, что это будет отношение эквивалентности, но не гарантирует, что это будет предельное отношение эквивалентности. Иными словами, равенство в модели не обязательно означает настоящее равенство. В этих обстоятельствах получение настоящего равенства путём его постулирования выглядит искусственным волевым решением, если не сказать произволом.

 

Продемонстрировать, что выполнение аксиом равенства не влечёт предельного разбиения, можно на следующем примере. Назовём теорию T теорией с равенством, если аксиомы равенства являются теоремами в T. Разумеется, теория равенства T= является теорией с равенством. Может быть, покажется неожиданным, что теория эквивалентности T также является теорией с равенством (это известный факт; см. [7], с. 88–89). Нужно только заменить в T символ ∼ на = и доказать в полученной теории T~/= аксиомы равенства (это проделано в [2], с. 36–37).

Назовём модель теории с равенством нормальной, если символ равенства в этой модели интерпретируется предельным отношением эквивалентности, т. е. разбиением универсума модели на синглетоны. Доказана метатеорема о том, что всякая непротиворечивая теория с равенством имеет нормальную модель ([7], с. 91). Но для нас сейчас важнее другое – то, что теории с равенством имеют не нормальные модели. Например, поскольку теория T~/= является теорией с равенством, и она же имеет в качестве моделей, любые отношения эквивалентности, постольку она имеет и не нормальные модели. Так, отношение x одногодок y на универсуме людей будет моделью теории T~/=, но это не нормальная модель, т. к. количество лиц, родившихся в одном и том же году, превышает единицу (если не брать во внимание проблему начала человеческого рода). Значит, выполнение аксиом равенства не гарантирует нормальности моделей, что и требовалось продемонстрировать.

Могут возразить, что теория эквивалентности слишком примитивна, а потому, дескать, и возникают не нормальные модели. Однако, к примеру, аксиоматическую теорию арифметики примитивной отнюдь не назовёшь. Но и для неё можно построить не нормальные модели. В аксиоматической теории множеств натуральный ряд либо представляет из себя бесконечную последовательность множеств  = { , {}, {{}}, {{{}}}, … }, представляющих числа 0, 1, 2, 3 и т. д., либо бесконечную последовательность множеств  = { , {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}, … }, представляющих те же самые числа 0, 1, 2, 3 и т. д. В обоих представлениях числа 0 и 1 интерпретируются одинаково. Но, начиная с числа 2, интерпретации становятся различными: {{}} ≠ {, {}} (подробнее см. [10], гл. II, §5).

Предположим, что дана нормальная модель формальной арифметики, основанная на универсуме . Расширим универсум, положив U =   . Зададим на этом расширенном универсуме следующее отношение эквивалентности ~. Пусть n1 – n-ый элемент , а n2 – n-ый элемент множества . Положим, по определению, n1 ~ n2. Тогда расширенный универсум будет разбит на непустые непересекающиеся множества {0}, {1}, {21, 22}, {31, 32}, …, {n1, n2}, … . Проинтерпретируем предикат равенства = в языке арифметики отношением ~ в модели. Затем внесём соответствующие изменения в интерпретацию арифметических функций x+, x + y и x × y. Например, пусть переменной x приписано значение {{}}, а переменной y значение {, {}}. Тогда в расширенной модели формула x = y будет выполнена, поскольку в модели {{}} ~ {, {}}. Далее будут выполнены формулы x+ = y+, x + y = x + x, x × y = y × y и т. п.

Но на самом деле {{}} ≠ {, {}} и, тем самым, 21 ≠ 22! Однако, средствами языка арифметики невозможно найти различие между этими теоретико-множественным объектами. В результате получена не нормальная модель арифметики, в которой настоящее равенство имеет место только для чисел 0 (т. к. 01  = 02) и 1 (т. к. 11  = 12). Ведь только цифры 0 и 1 проинтерпретированы синглетонами.

 

С философской точки зрения это означает, что средствами первопорядковых теорий невозможно полностью выразить идею равенства. Однако было бы ошибочно думать, что переход ко второпорядковой логике, напрямую моделирующей идею Лейбница о равенстве как о неразличимости, решает проблему равенства. Конечно, второпорядковое явное определение равенства x = ydfP(P(x) ↔ P(y)) впечатляет, но сама второпорядковая логика, как мы уже упоминали, проблемна (подробнее см. [8], с. 146–150). Тем не менее, аксиомы равенства в общем случае не равнозначны аксиомам эквивалентности. Выполнение аксиом равенства гарантирует выполнение аксиом эквивалентности, но не наоборот. Из эквивалентности не вытекает, что произвольным свойством объекта a будет обладать эквивалентный объект b. Так, из Вагнер ∼ Верди не вытекает, что если Вагнер – немец, то и Верди – немец (как известно, Верди – итальянец). Однако из Аристотель = Стагирит по аксиомам равенства следует, что если Аристотель – грек, то и Стагирит – грек (детали см. в [2], раздел 1.4).

 

Аксиоматическая теория равенства играет особую роль при построении других теорий. Чаще всего аксиоматические теории строятся как расширение теории равенства. Неплохо, в самом деле, рассуждая об индивидах разной природы, заранее иметь возможность решать, равны друг другу индивиды a и b, или не равны. Это ещё одно основание, на котором теорию равенства относят к логике, а не к прикладной её части. Однако существуют теории с равенством, в которых равенство получает явное определение исходя из заведомо не логических аксиом (таковы некоторые теории множеств, которые рассмотрены в [2]). Так что в итоге доводы в пользу тезиса о не логической сути равенства оказываются, на наш взгляд, более весомыми. Но существуют, как мы видели, и другие мнения. Поэтому наиболее оптимальным будет компромиссное решение о причислении теории равенства к классу логических теорий.

 

Последним примером логической теории будет построенное автором исчисление неопределённостей, которое сводится к классическому исчислению предикатов, но имеет неклассическую трёхзначную семантику с истинностными значениями «истинно», «неопределённо», «ложно» из множества {1,  ½, 0}. Но, в отличие от трёхзначной семантики логики Ł3, бинарные логические связки не могут быть заданы трёхзначными таблицами.

Язык L’ получается из языка L заменой некоторых (может быть, и всех) предикаторов (знаков n-местных отношений) R на эти же символы, снабжённые штрихом R’. Будем говорить, что R’ дублет R , а R дублет R’. Положим L* =df L  L’. Определим синтаксическую операцию * на формулах языка L* следующим образом. A* есть формула A, в которой каждое вхождение предикатного символа, имеющего дублет, заменено на этот дублет. В остальном исходная формула A не меняется. Очевидно, что A** = A и что A* = A, если ни один предикатный символ из A не имеет дублетов. Назовём формулы A* и A дубликатами друг друга, если A* ≠ A.

 

Для отображения неопределённости в языке введём новый унарный логический оператор н. К определению понятия формулы добавляется пункт: если Aформула, то нAтоже формула. Формула нA может быть прочитана как «неопределённо A». Пополним язык L* оператором н. Получившийся в результате язык обозначим через Lн.

 

Обычно введение нового нестандартного логического оператора приводит к необходимости принятия новой неклассической логики. В рассматриваемой ситуации мы сохраним классическую логику, определив оператор н посредством стандартных логических связок и операции *. Примем следующую важную аксиому неопределённости H.

 

нA ↔ ((A ˄ ¬A*) ˅ (¬A ˄ A*))

 

Здесь A – любая формула языка Lн. Легко проверить, что если формула A не содержала оператора н, то формула ((A ˄ ¬A*) ˅ (¬A ˄ A*)) есть формула первопорядкового языка L*. Отсюда следует, что можно последовательно устранить все вхождения операторов н в любую формулу, используя для этого аксиому неопределённости H, и получив в результате эквивалентную исходной формуле A формулу классического первопорядкового языка L*, которую будем обозначать Aн (здесь символ –н есть знак отсутствия оператора н в формуле). Аксиома неопределённости H добавляется к классическому исчислению предикатов первого порядка в качестве новой логической аксиомы, содержащей новую унарную логическую связку н. Назовём получившееся исчисление исчислением неопределённости.

 

В новом исчислении неопределённости доказуема теорема Ⱶ(AAн). В случае, если в A не содержалось вхождений оператора н, имеем просто закон тождества AA, поскольку данном случае A = Aн (т. е. формулы A и Aн совпадают). Но в случае наличия вхождений оператора н в формулу A, длина формулы Aн языка L* будет значительно превышать длину исходной формулы A языка Lн.

 

Далее на формулы вида нA распространяются стандартные семантические характеристики выполнимости и истинности. Для этого используем эквивалентную нA первопорядковую формулу (нA)н. В результате нA истинна (ложна) в структуре S (состоящей из универсума U и функции интерпретации не логических символов языка J) тогда и только тогда, когда (нA)н истинна (ложна) в S. Пока получается, что ничего нового в семантическом смысле мы не получили.

Однако функция интерпретации J может по-разному интерпретировать предикаторы-дублеты, что позволяет различить четыре ситуации.

 

  1. как A , так и A* истинны;
  2. как A, так и A* ложны;
  3. A истинно и A* ложно;
  4. A ложно и A* истинно.

 

Это позволяет ввести следующие три новые истинностные значения: определённую истинность как A , так и A* в случае (1), определённую ложность как A, так и A* в случае (2) и неопределённую истинность, совпадающую с неопределённой ложностью как A, так и A* в случаях (3) или (4). В случае (1) пишем || A || = 1 и || A* || = 1, в случае (2) – || A || = 0 и || A* || = 0, в случае (3) или (4) – || A || = ½ и || A* || = ½. Таким образом, имеем трёхэлементное множество истинностных значений {1,  ½, 0}. В целом можно сказать, что вместо принципа бивалентности нами принимается семантический принцип тривалентности, согласно которому любая пропозиция (формула без свободных переменных) либо истинна, либо неопределённа, либо ложна. Четвёртого не дано.

 

Введённые истинностные значения распространяются не только на пропозиции. Если формула A является логическим законом или противоречием и содержит свободные переменные, она также получит определённую истинностную оценку 1 или 0 в любой структуре S. Но так и должно быть. Логические законы и противоречия с развиваемой здесь философской позиции вполне определённы и потому не могут принимать неопределённого истинностного значения. Формально данный результат достигается тем очевидным обстоятельством, что формула A является логическим законом тогда и только тогда, когда формула A* является логическим законом, а формула A является противоречием тогда и только тогда, когда формула A* является противоречием.

 

Рассмотрим, как зависит истинностное значение формулы ¬A от истинностного значения формулы A. Предположим, || A || = 1 и || A* || = 1. Тогда как A, так и A* истинны, что влечёт ложность как ¬A, так и ¬A*, т. е. случай (2) для формулы ¬A. Отсюда имеем || ¬A || = 0 и || ¬A* || = 0. Аналогичным образом, если || A || = 0 и || A* || = 0, то имеет место случай (1) для формулы ¬A, откуда || A || = 1 и || A* || = 1. Если же || A || = ½ и || A* || = ½, то имеет место либо случай (3), либо случай (4). В случае (3) A истинно и A* ложно, откуда ¬A ложно и ¬A* истинно. Это даёт ситуацию (4) для формулы ¬A. Значит, || ¬A || = ½ и || ¬A* || = ½. В случае (4) A ложно и A* истинно, откуда ¬A истинно и ¬A* ложно. Это даёт ситуацию (3) для формулы ¬A . Значит, снова || ¬A || = ½ и || ¬A* || = ½.

 

Рассмотрение зависимостей истинностного значения формулы нA от истинностного значения формулы A технически сложнее и здесь не приводится. Однако в ([2], с. 154–155) доказано, что в случае истинности или ложности A формула нA ложна, а в случае неопределённого значения A формула нA истинна. Тем самым доказан следующий факт.

Факт 1. Унарные связки ¬ и н задают следующую таблицу.

A ¬A нA
1 0 0
½ ½ 1
0 1 0

 

Подчеркнём, что унарные связки не определяются данной таблицей, а определяют, задают её в соответствии с нашими определениями истинностных значений.

 

Назовём логическую связку табличной, если она является функцией из {1,  ½, 0} в {1,  ½, 0}. Имеет место следующий факт.

Факт 2. Унарные связки ¬ и н табличны. Бинарные связки ˄, ˅, и ↔ не табличны.

 

О табличности унарных связок было только что сказано. Доказательство не табличности бинарных связок вновь опустим (его можно найти в [2], с. 155–156). Отметим, что тем самым семантика неопределённости отличается от обычных семантических конструкций для модальных логик, в которых все бинарные связки табличны по отношению к двузначным таблицам (а в трёхзначной логике Ł3 табличны не только все связки, но даже все модальные операторы).

 

Следующий факт, в отличие от предыдущих двух, касается не семантических, а синтаксических характеристик неопределённости. Это философски важная теорема о том, что неопределённой неопределённости не бывает.

 

Факт 3. В исчислении неопределённости для любой формулы A доказуема теорема ¬ннA.

 

Полное формальное доказательство будет слишком длинным, поэтому даже в монографии [2] мы ограничились лишь полуформальными рассуждениями ([2], с. 156–157). Их суть заключается в демонстрации противоречивости формулы ннA, которая выявляется после устранения всех вхождений оператора неопределённости н.

Подобно тому, как логическая теория равенства служит основой многочисленных теорий, логическая теория неопределённости может расширяться множеством способом в процессе получения различных прикладных теорий с неопределённостями. Подробно подход к такого рода построениям изложен в [2]. Здесь мы ограничимся общими пояснениями. Предположим, мы хотим построить теорию (с равенством или без) предикатора R, который задан аксиоматически, но по содержательным соображениям не может быть определён точно посредством аксиоматической системы. Тогда язык дополняется его дублетом R’, и каждая исходная аксиома A дублируется новой аксиомой A*, в которая получается из A заменой всех вхождений предикатора R на его дублет R’. Ключевой шаг заключается в принятии новых аксиом, содержащих оператор неопределённости н. Теория с неопределённостями построена.

С философской позиции, такой подход к неопределённости связан с не категоричностью формальных интерпретаций. Одни и те же аксиомы в общем случае могут формально точно интерпретироваться по-разному. Получается одна теория, но с разными интерпретациями, никак не связанными друг с другом. Предлагаемая здесь конструкция позволяет получить разные интерпретации предикаторов R и R’ в рамках одной интерпретации. Поскольку предикаторы R и R’ определяются одними и теми же аксиомами с точностью до замены одного предикатора на другой, R и R’ могут обоснованно считаться представителями одного и того же, но неопределённого понятия. Новые аксиомы с оператором н позволяют установить, в чём же конкретно заключается неопределённость.

Перейдём к примерам теорий с неопределённостью. Первым примером будет теория понятия изобретатель колеса. Известно, что колеса в природе не существует. Выходит, что колесо появилось как изобретение человека. Стало быть, существовал конкретный человек или несколько людей, которые изобрели колесо. Но отнюдь не каждый является изобретателем колеса. Это тоже понятно. Рассмотрим свойство Изобретатель колеса(x). Введём для него предикатный символ I (т. е. в роли неопределённого предикатора R будет выступать одноместный предикатор I) . Ясно, что должны быть приняты аксиомы ∃xI(x) и ∃x¬I(x). Далее к языку добавляется дублет I‘ и принимаются аксиомы-дубликаты ∃xI‘(x) и ∃x¬I‘(x), где предикат I‘(x) также представляет свойство «Изобретатель колеса(x)».

Что ещё известно об этом свойстве? Как ни печально, но имя изобретателя колеса или имена таких изобретателей (если их было несколько), нам не только не известны, но и, скорее всего, никогда не будут известны, поскольку следы этого человека или этих людей онтологически потеряны, т. е. таких следов в нашем темпоральном универсуме уже нет, они растворились в глубине веков. Зато определённо известны имена многих и многих людей, которые колеса заведомо не изобретали (так, мы с вами тоже не являемся изобретателями колеса). Сказанное обосновывает принятие аксиомы с неопределённостью ∀x(¬I(x) ˅ нI(x)) и аксиомы ∃x(¬I(x) ˄ ¬I‘(x)).

 

В итоге аксиомами теории будут формулы ∃xI(x), ∃x¬I(x), ∃xI‘(x), ∃x¬I‘(x), ∀x(¬I(x) ˅ нI(x)) и ∃x(¬I(x) ˄ ¬I‘(x)). В получившейся теории доказуемы теоремы x(I(x)  нI(x)) и ¬x(I(x) ˄ I‘(x)). Согласно второй теореме в семантике получим, что в любой модели рассматриваемой теории интерпретации предикатов I и I‘ не пересекаются. Содержательно это означает, что свойство «Изобретатель колеса(x)» полностью неопределённо: ни о каком конкретном индивиде нельзя сказать, что он является изобретателем колеса. Но в силу последней аксиомы ∃x(¬I(x) ˄ ¬I‘(x)) существуют индивиды, определённо не являющиеся изобретателями колеса.

 

Завершим раздел о логической теории неопределённости кратким рассмотрением ещё одного знаменитого с древности примера. Речь идёт о парадоксе кучи и аналогичных парадоксах. Обычно парадокс кучи излагается по следующей схеме. Один объект не составляет кучи. Добавляя по одному объекту к уже полученной совокупности, мы в конце концов получим кучу объектов. Проблема в том, что непонятно, в какой момент построения не куча превращается в кучу. Такая схема выглядит как покушение на принцип математической индукции: один объект не куча; если n объектов не куча, то и n+1 объект не куча; следовательно, для всякого n объекты в количестве n не образуют кучи.

 

От того, что такого рода индукции обычно ведут по конечным множествам объектов, проблема только усугубляется. В логико-философской литературе обсуждался следующий пример. «В первую секунду своей жизни Л.Н. Толстой – ребёнок. Если он в n-ю секунду ребёнок, то и в n+1-ю секунду он ребёнок. Следовательно, во всякую секунду своей жизни он ребёнок». Такие рассуждения восходят к известным с античности апориям «Просяное зерно», «Куча», «Лысый» и им подобным, подразумевавшим конечное количество используемых объектов.

 

На практике от таких апорий избавляются укрупнением масштаба рассмотрения. Нелепо отличать ребёнка от взрослого в масштабах секунд. Но в масштабах лет уже не проходит индукционный шаг «если он в n-ый год ребёнок, то и в n+1-ый год он ребёнок». В законодательстве на сей счёт существует правовая норма, отделяющая несовершеннолетних от совершеннолетних именно с разницей в один год. Хотя проблема остаётся в том смысле, что несовершеннолетний превращается в совершеннолетнего за мгновение, отделяющее n-ый год от n+1-го.

 

В связи с подобными ситуациями была придумана “теория нечётких множеств”, где объект не просто обладает или не обладает некоторым свойством, а обладает им в некоторой степени, которая обычно обозначается действительным числом из отрезка [0, 1]. Если степень обладания свойством равна 0, то это означает, что объект данным свойством не обладает вовсе. Если эта степень 1, то налицо наиполнейшее обладание свойством. Все остальные случаи промежуточные. Таким образом, вместо двух ситуаций xy и xy предлагается рассматривать несчётное количество ситуаций вида x ∈i y, где ∈i трактуется как принадлежность со степенью i ∈ [0, 1]. Тогда x0 y означает xy (полное отсутствие принадлежности), x1 y указывает на максимально возможную принадлежность, а все остальные индексы указывают на якобы нечёткую принадлежность элемента множеству.

 

Можно, например, “быть кучей” со степенью ½ или даже с иррациональной степенью √2 – 1. Решает ли такой подход проблему? Вопрос риторический. И дело отнюдь не в возможной иррациональности степеней принадлежности. Даже если ограничиться набором рациональных чисел, решения не получится. Скажем, будет ли кучей совокупность в 1000 зёрен, песчинок, камешков или иных сыпучих тел? Согласимся, что будет. Согласимся также, что ноль экземпляров кучи не составляет. В духе “теории нечётких множеств” будем считать, что совокупность из одного экземпляра является кучей на 1/1000, из двух – на 2/1000, из трёх – на 3/1000 и т. д., пока на тысячном шаге не получим кучу на 1000/1000 = 1. Ясно, что такой подход ни на йоту не приблизил нас к пониманию того, какое количестве экземпляров заслуживают или не заслуживают звания кучи, за исключением последнего тысячного экземпляра и заведомо не попавшей в число куч пустой совокупности.

 

Более того, попытка приписать отношению принадлежности чётко определённую степень лишает нас всякой неопределённости, делая вполне определённым то, что само по себе определённым, в силу своей онтологической природы, не является. Это становится особенно понятно, если переформулировать отношение так называемой “нечёткой принадлежности”, взяв вместо xi y обычное отношение принадлежности упорядоченной пары (i, x) множеству y: (i, x) ∈ y. Тогда в рассматриваемом примере тысячной совокупности якобы нечёткое множество куч превратится в стандартное множество {(1/1000, k1), (2/1000, k2 ), … , (1000/1000, k1000)}, где совокупность ki содержит i экземпляров сыпучего вещества. Получается, что в действительности в “теории нечётких множеств” нечётких множеств попросту нет.

 

Попробуем ввести в теорию множеств ZFC (теория множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора) неопределённое понятие «куча» в виде одноместного предиката K(x). Мы исходим из идеи, что кучи – это частный случай неопределённых множеств. Примем следующие аксиомы.

 

  1. Аксиомы ZFC
  2. ∃xK(x)
  3. x(K(x)  |x| > 1
  4. xy((K(x) ˄ |x| ≤ |y| )  K(y))

 

В качестве дубликата получившейся теории возьмём следующую теорию в языке, дополненном дублетом K‘.

 

  1. Аксиомы ZFC
  2. ∃xK‘(x)
  3. x(K‘(x)  |x| > 1
  4. xy((K‘(x) ˄ |x| ≤ |y| )  K‘(y))

 

Обратим внимание, что аксиомы теории множеств ZFC одни и те же в обеих теориях. Их различие связано только с дублетами K и K‘.

 

Наконец, построим следующую итоговую теорию.

 

  1. Объединим аксиомы двух предыдущих теорий.
  2. xнK(x).

 

Это и будет теория неопределённого понятия «куча».

 

Дадим короткий комментарий по поводу данной теории. Согласно её аксиомам, кучи существуют, но на звание кучи могут претендовать лишь те множества, чьи мощности превышают единицу. Так что пустое множество и любые синглетоны кучами однозначно не являются. Далее, если какое-то множество является кучей, то и любое множество большей мощности также является кучей. Наконец, ключевая аксиома ∃xнK(x) утверждает, что понятие кучи неопределённо. Семантически это означает, что в любой модели теории кучи дублеты K и K‘ получат различную интерпретацию. Поскольку они представляют одно и то же понятие кучи (ведь это понятие подчиняется одним и тем же аксиомам с точностью до дублетов), однозначная трактовка понятия кучи в этой теории невозможна, и оно оказывается в ней неустранимо неопределённым.

 

В предыдущей теории с неопределённостями была доказуема теорема x(¬I(x) ˄ ¬I‘(x)). Аналогичная теорема x(¬K(x) ˄ ¬K‘(x)) доказуема в обсуждаемой теории. Однако, если в предыдущей теории имела место теорема о полной неопределённости ¬x(I(x) ˄ I‘(x)), теперь доказуема теорема x(K(x) ˄ K‘(x)). Её доказательство требует привлечения теории множеств, и потому не приводится (оно есть в [2], с. 162–163).

 

Как уже говорилось, суть предлагаемого здесь подхода к логическому анализу неопределённости основывается на том фундаментальном факте, что одни и те же аксиомы могут иметь различные интерпретации, причём не только в разных универсумах, но и в том же самом универсуме. Построенная логическая теория неопределённости позволяет промоделировать эти различные интерпретации в рамках одной теории. В результате возникает возможность их явной фиксации с использованием оператора неопределённости н. Так как этот оператор устраним, логика неопределённости в её синтаксической части по существу остаётся классической, хотя семантика претерпевает более радикальные преобразования, позволяющие присваивать соответствующим выражениям языка неклассические истинностные значения из трёхэлементного множества {1,  ½, 0}.

 

В заключение отметим, что идея логических теорий в своём применении даёт новый метод использования логики в философии. Вместо того, чтобы строить очередную новую неклассическую логику, которая неизбежно будет хуже классической как в формальном, так и в содержательном отношении, можно попытаться решать возникающие проблемы на базе расширения классической логики посредством аксиом, вводящих какие-либо новые истинностные значения (как в логической теории неопределённости) или иные неклассические семантические конструкции (как в семантике возможных миров). Но это и есть путь конструирования логических теорий. Важно применять данный метод осознанно, получая новые разнообразные логические теории без претензии на умножение числа логик.

 

 

Литература

 

  1. Анисов А.М. Современная логика и онтология. Кн. 1: Традиционная логика. Пропозициональная логика. Логика предикатов. – М.: ЛЕНАНД, 2022. – 352 с.
  2. Анисов А.М. Современная логика и онтология. Кн. 2: Аксиоматические теории. Теория множеств. Модели времени. – М.: ЛЕНАНД, 2022. – 216 с.
  3. Анисов А.М. Предмет логики // «Credo new», 2022, № 1 (109). С. 105–131.
  4. Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977. – 614 с.
  5. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2006. – 240 с.
  6. Крипке С. Семантический анализ модальной логики. I. Нормальные модальные исчисления высказываний // Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. С. 254–303.
  7. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971. – 320 с.
  8. Такеути Г. Теория доказательств. М.: Мир, 1978. – 412 с.
  9. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. – 520 с.
  10. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. – 555 с.
  11. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. – 528 с.
  12. Tarsci A. What are Logical Notions? // History and Philosophy of Logic. 1986. Vol. 7. P. 143–154.

 

1 Подробнее о логике Ł3 см. [1], С. 198–202.

2 Эти определения даны ниже при описании классической логики высказываний.

3 В таблицах для Ł3 и КИВ единственным выделенным значением является 1. Но в общем случае может быть более одного выделенного значения в многозначных таблицах.

4 Семантике возможных миров посвящено множество работ. Кратко эта семантика описана в [1], с. 205–208. Подробнее см., напр., [6].

5 И содержательное, и полное формальное описание классической логики предикатов первого порядка дано в монографии [1].

6 Эвиваленция ↔ это логическая связка, определяемая конъюнкцией импликаций: A ↔ B =df (A É B) ˄ (B É A).

Loading