Годарев-Лозовский Максим Григорьевич. ОТ АКТУАЛЬНОЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ К НОРМАЛЬНОСТИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА

 

Годарев-Лозовский Максим Григорьевич

Председатель Санкт-Петербургского Философского клуба, руководитель

научно-философского семинара Дома ученых в Лесном

Godarev-Lozovsky Mazim G.

 Chairman of the St. Petersburg Philosophical club,

 head of the scientific and philosophical seminar of the House of scientists in Lesnoy

 

E-mail: godarev-lozovsky@yandex.ru

УДК 125

 

 

«Количество рассчитанных цифр числа  считается одним из показателей развития цивилизации» Дайсукэ Такахаши

«Существует среди математиков глубокое и твердое убеждение, которое дает им опору в их абстрактных исследованиях, а именно: ни один вопрос данной науки не может остаться без ответа»

Георге Цицейка

 

ОТ АКТУАЛЬНОЙ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ К НОРМАЛЬНОСТИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЧИСЛА

 

Аннотация: Множество десятичных знаков периодической дроби потенциально бесконечно и имеет мощность конечного множества, а множество десятичных знаков непериодической дроби актуально бесконечно и имеет мощность счетного множества. Исходя из этой аксиомы показано и объяснено следующее. 1) Взаимно однозначное соответствие части целому в актуально бесконечном множестве десятичных знаков непериодической дроби обуславливает нормальность иррационального числа. 2) Иррациональное число нормально к основанию 10, если в вычислительном эксперименте выявляется каждая из лежащих в основании этого числа десяти цифр. 3) Обнаруживаемые отклонения от абсолютно равномерной частоты цифр и их последовательностей – несут информационную нагрузку и требуют осмысления.

Ключевые слова: числовая прямая, счетное и конечное множество, актуальная и потенциальная бесконечность, периодическая и непериодическая десятичная дробь.

 

FROM ACTUAL POTENTIAL INFINITY TO THE NORMALITY OF AN IRRATIONAL NUMBER

Abstract:  The set of decimal places of a periodic fraction is potentially infinite and has the cardinality of a finite set, and the set of decimal places a non-periodic fraction is actually infinite and has the cardinality of a countable set. Based on this axiom, the following is shown and explained. 1) The one-to-one correspondence of a part to a whole in an actually infinite set of decimal places of a non-periodic fraction determines the normality of an irrational number. 2) An irrational number is normal to the base 10, if each of the ten digits underlying this number is revealed in a computational experiment. 3) The detected deviations from the absolutely uniform frequency of digits and their sequences – carry informational load and require comprehension.

Keywords: number line, countable and finite set, actual and potential infinity, periodic and non-periodic decimal fraction.

 

Решение проблемы неразличения актуальной и потенциальной бесконечности

 

В философской статье, посвященной проблеме бесконечности Л.Б. Султанова убедительно показывает, что смешение математиками представления о потенциальной и актуальной бесконечности не дает возможность им строго обосновать свою науку [8, с.88 – 94]. Действительно, неразличение учеными понятий «актуально бесконечное множество» и «потенциально бесконечное множество», в частности в обобщающем понятии «бесконечная десятичная дробь», влечет за собой ряд серьезных для науки последствий. Среди них – это невозможность теоретически обосновать нормальность иррационального числа и буквальное понимание равенства 0, (9) = 1. Мы предлагаем метатеоретическую концепцию, логически решающую обозначенные нами и некоторые связанные с ними проблемы. Статья посвящена также решению проблемы определения нормального иррационального числа на основе различения понятий «актуальная» и «потенциальная» бесконечность на множестве десятичных знаков непериодической и периодической дробей. Ведь, весьма характерно, что современные математики полностью игнорируют вопрос о том, актуально или потенциально бесконечен денотат действительного числа, выраженный бесконечной десятичной дробью. В связи с вышеизложенным, сделаем ряд следующих предварительных замечаний.                                              Известно, что множество действительных чисел не содержит собственные подмножества в качестве своих элементов, т.е. чисел, которые мыслятся точками числовой прямой. Ученые условились, что система счисления – это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифр. Основанием системы счисления является количество цифр, необходимых для записи числа в той или иной системе счисления (например,10 или 2). При этом система записи чисел, которая всегда конечна – это способ представления чисел в письменном виде с помощью знаков (т.е. цифр, букв или др. символов). Важно то, что представления числа в разных системах счисления различны, а также рациональные приближения иррационального числа по недостатку и по избытку также будут различаться. Не вызывает сомнений, что элементы множества знаков бесконечной десятичной дроби представляют собой некоторую последовательность цифр в записи конкретного действительного числа. В обозначенной   последовательности каждый из знаков имеет свой порядковый номер.                                               Математики конвенционально определили, что иррациональное положительное число называется нормальным в десятичной системе счисления, если цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 в нем встречаются с одинаковой частотой. Это же справедливо и для последовательностей из двух цифр от 00 до 99, из трех цифр от 000 до 999 и так далее. На числовой прямой нормальных чисел существует несчетное множество. «Как показал Э. Борель, на любом отрезке ax b  абсолютно нормальные числа образуют множество полной меры, т.е. мера этого множества равна ba. Не уменьшая общности, можно ограничиться отрезком (0,1), и, таким образом, вероятность (мера) того, что наугад выбранное на этом отрезке число x окажется нормальным, равна единице. Но замечательно то, что определить, является ли заданное число нормальным, исключительно трудно» [9, с.98-104]. Сам Э. Борель пишет: «…нужно считать весьма вероятным, что все просто определяемые числа (т.е.: е, π ,√ 2 и др. – М.Г-Л), за исключением чисел рациональных нормальны…строгое доказательство этого факта было бы одним из самых блестящих успехов, каких можно достичь в исследовании свойств чисел, но это доказательство, по-видимому, очень трудно» [1, с.60-63]. Мы убеждены: обозначенное Э. Борелем доказательство совершенно невозможно без учета различения актуальной и потенциальной бесконечности.                                  Важно, что если, например, в десятичной системе счисления число π  = 3,141… является нормальным, то и любая произвольная конечная последовательность цифр в нем должна когда-нибудь встретиться, при том, что вся потенциально бесконечно познаваемая наукой последовательность десятичных знаков числа  –  определенно не является случайной. Ведь, известно, что существуют алгоритмы, позволяющие вычислять всё новые и новые десятичные знаки этого числа. Известно, что последовательность чисел называется случайной, если воспроизвести ее, зная алгоритм и все исходные данные, не представляется возможным (т.е. дважды запустив генератор в тех же условиях, мы получим разные последовательности).                    Итак, если, например, число π – нормально, то любая наперед заданная конечная последовательность цифр, существует в его актуально бесконечном множестве знаков и даже  неограниченное количество раз повторяется. Но доказательство нормальности числа, включая число , в настоящее время в науке и философии отсутствует. Мы предлагаем математически неформальное доказательство нормальности иррационального числа, которое представляется нам логически безукоризненным. В предлагаемом нами контексте естественно возникает вопрос о десятичных вероятностях, и Э. Борель дал им следующее определение: «Мы назовем десятичными, вероятности появления той или иной цифры некоторого числа (целого или дробного), записанного в десятичной системе» [1, с.59-60].

Аксиома Лозовского и решение проблемы неоднозначности представления действительных чисел

Мы можем перейти к нашему метатеоретическому построению только с учетом следующих характерных свойств потенциально бесконечного множества. 1) Число элементов потенциально бесконечного множества нам неизвестно, но оно не является переменной величиной. 2) Мощность потенциально бесконечного множества конечна. 3) Правильная часть потенциально бесконечного множества не равномощна целому множеству. 4) Актуально бесконечное множество не производно от потенциально бесконечного множества. 5) Исключительно разность между действительным числом х и гипердействительным числом x+α   является актуально бесконечно малой постоянной величиной α в смысле нестандартного анализа потому, что разность между действительными числами не может быть актуально бесконечно малой. Этот пункт предлагается детально пояснить.

Известно, что на гипердействительной прямой каждое стандартное действительное число  окружает монада  нестандартных актуально бесконечно малых чисел. На первый взгляд для обоснования нашей точки зрения с позиций нестандартного анализа допустимо принять то, что актуально бесконечно малая α > 0 и, соответственно, признать в случае допущения актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби справедливость следующих выражений:

0, 9 < (1 − α); 0, 99 < (1 − α); 0, 999 < (1 − α); 0, 9999 < (1 − α); . . .. Однако, даже на «обычной», т.е.  действительной числовой прямой, между двумя рациональными числами, представляемыми периодическими дробями, обязательно находятся действительные числа, которые не учитываются в случае гипотетического допущения актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби. Иначе выражаясь: на числовой прямой, в случае актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби не остается места для других чисел между 0,999… и 1,000…. Важно осознать то, что запись 0,999… указывает на потенциально бесконечную последовательность девяток, упорядоченную по типу n+1, т.е. упорядоченную не по всему актуально бесконечному ординалу ω. Только в этом случае, по нашему мнению, всякое действительное число может быть однозначно представлено на числовой прямой [2, с. 213-218].

Но все же имеет ли место равенство 0, (9) = 1? Традиционно принято полагать, что оно справедливо. Например, такой авторитетный в теории чисел исследователь как С. Феферман указывает на равенство 1/8 = 0,1250000… = 0,1249999… и анализирует проблему такой неоднозначности, но, увы, без учета различения актуальной и потенциальной бесконечности [12, с. 279].

Исходная для наших дальнейших рассуждений аксиома названа в память о Максиме Семеновиче Лозовском, деде автора статьи, который будучи инвалидом ушел в ополчение и пропал без вести в 1942 году под Синявино. Примем, далее обосновав её, эту необходимую нам аксиому: множество десятичных знаков периодической дроби потенциально бесконечно и имеет мощность конечного множества, а множество десятичных знаков непериодической дроби актуально бесконечно и имеет мощность счетного множества.

Известно, что ещё Г. Кантор утверждал: всякое иррациональное число может быть представлено бесконечной последовательностью рациональных чисел, а согласно Вейерштрассу, всякое рациональное число представляется “агрегатом”, т.е. конечным множеством единиц [7, c. 221-232]. Каковы же современные логические основания аксиомы Лозовского?

 

1) Порядок цифр (десятичных знаков) у всякой дроби не произволен и не случаен. При этом, подчеркнем то, что порядковый номер цифры после запятой в бесконечной десятичной дроби – есть, по существу, собственный порядковый номер знака этой дроби: a, f1, f2…fn…

2) Всякая дробь – есть число, а всякое число должно быть однозначно представлено на числовой прямой. Л.С. Понтрягин особо подчеркивает тот факт, что всякая дробь, является числом [10, с. 26, 52,53, 65].

Интересно то, что в случае допущения потенциально бесконечного множества знаков всякой непериодической дроби, в частности, дроби 3,141… – представляемое ею иррациональное число π имело бы переменное множество знаков и, соответственно, не было бы представлено единственной точкой на числовой прямой. Ведь в этом случае было бы допустимо всегда произвольно неограниченно расширять и изменять множество знаков непериодической дроби, например, добавляя к ней не существующий заключительный знак – что приводило бы к неоднозначности значения и представления числа 3,141… на числовой прямой.

Таким образом, закономерность представления иррациональных чисел определенно имеет в своей основе специфический принцип, в том числе с учетом того, что в отличии от дроби периодической, не существует числа S, к которому сходится последовательность цифр дроби непериодической [10, с.26].

Таким образом, необходимо признать, что число 1 однозначно может быть представлено единственной точкой числовой прямой в виде бесконечной десятичной дроби 1,000… только в случае потенциально бесконечного множества знаков дроби 0,999… Однако, в случае обратного допущения было бы справедливо буквальное равенство 0, (9) = 1, (0) = 1, что явно говорило бы о неоднозначности представления числа 1 двумя различными десятичными дробями.

3) Целое число однозначно представляется только бесконечной десятичной дробью х (0). В случае x = (n – 1), 999 существовала бы неоднозначность представления рационального числа на числовой прямой.  То есть, если число х целое, т.е. x = n, то для него соответствующей ему дробью будет x = (n+0), 000. Важно также понимать: точный смысл равенства 0,999… = 1 в том, что потенциально бесконечная последовательность: S1 = 0,9, S2 = 0,99…, Sn, …, как величина,  сходится к 1, но не в том, что существует буквальное равенство (абсолютное тождество) двух различных действительных чисел на числовой прямой.

В связи с этим характерно, что Л.С. Понтрягин отмечает существование бесконечно малой величины, как необходимый признак сходимости всякой периодической дроби к рациональному числу и главное показывает то, что: «В этом и состоит точный смысл утверждения, что бесконечная десятичная дробь 0,999…  равна 1» [10, с.25-26].  Ведь, известно, что в классическом математическом анализе число b часто определяется как предел последовательности (xn) если (xn – b) – бесконечно малая последовательность [11, с.49].

Для решения проблемы неоднозначности представления чисел иногда учеными справедливо предлагается различать термины: значение числа, которое всегда единственное и представление числа, которое может быть различным.

Мы отмечаем то, что потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби не является переменной величиной и, в частности, с этой точки зрения, справедливо следующее выражение: 0, (9) < 1 = 1, (0). Однако, записи, например, иррационального числа π в десятичной и двоичной системах счисления различны, но представляют они одно и тоже число, то есть, как мы полагаем, справедливо следующее выражение:

π = 3,141… = 11,00100100001111110110… Мы вполне обосновывали аксиому Лозовского.

Какие возможны метатеоретические следствия из этой аксиомы?

1) Множество моментов прошлого времени жизни Вселенной, исходя из закона сохранения энергии, актуально бесконечно и находится во взаимно однозначном соответствии с множеством знаков непериодической дроби; а множество моментов будущего времени жизни стабильной частицы в свободном состоянии, может находиться во взаимно однозначном соответствии с потенциально бесконечным множеством знаков дроби периодической.

2) Необходимым и достаточным условием нормальности всякого иррационального числа в n счислении, является наличие в его n записи каждой из n цифр.

3) Логически допустимо: всякое абсолютно нормальное иррациональное число включает в себя абсолютно всю информацию.

 

Решение проблемы нормальности иррационального числа

 

Какие существуют предпосылки нормальности иррационального числа?

А) Примем следующее рабочее определение нормального десятичного числа. «Вообще, число

х ∈ [0,1] называется нормальным по базису g, если частота каждой цифры в разложении х по базису g одна и та же (1/g). Число х называется нормальным, если оно нормально при разложении по любому базису» [9, с.99].

При этом, как мы полагаем, десятичное число, имеющее актуально бесконечное множество знаков, нормально к основанию 10, только если выполняются два логически обязательных условия: 1) подмножества всех десяти цифр системы счисления в его основании находятся между собой во взаимно однозначном соответствии; 2) в алгоритмически вычисляемом множестве его знаков присутствуют все цифры от 0 до 9.

Имеющиеся в настоящее время данные вычислительного эксперимента №1 свидетельствуют о том, что среди первых 200 000 000 000 десятичных знаков числа π (не считая целой части) все цифры встречаются примерно одинаково (таблица 1).

 

Таблица 1 – Частота встречи цифр

 

Цифра сколько раз появляется
0 20 000 030 841
1 19 999 914 711
2 20 000 013 697
3 20 000 069 393
4 19 999 921 691
5 19 999 917 053
6 19 999 881 515
7 19 999 967 594
8 20 000 291 044
9 19 999 869 180

 

Как видно из таблицы 1, доля появлений каждой десятичной цифры примерно равна одной десятой (погрешность такого приближения не превышает 0,0015 %) [см.: 5, с.71].

Б) Примем следующее исходное допущение по обнаружению в вычислительном эксперименте нормального десятичного числа. Десятичное число нормально к основанию 10, только если выполняются два условия: 1)  в  множестве знаков, например, числа π = 3,141… предельная частота конкретных цифр, а также сочетаний из произвольного числа последовательных цифр равна 1/10 для одной цифры, 1/100 – для сочетания двух цифр, 1/1000 – для сочетания трех цифр и т.д.; 2) когда число выборок неограниченно возрастает, то частота каждой из десяти цифр должна стремится к предельному значению 1/10, но если взяты две цифры – к 1/100, а если взяты три цифры – к 1/1000 и т.д. [1, с.61].  Мы видим, что приведенный нами эксперимент подтверждает: число π нормально.

Результат вычислительного эксперимента №2 показывает следующее. Д. Андерсен разработал программу, которая занимается поиском среди первых 100 000 000 цифр числа π натурального числа, произвольно вводимого посетителем сайта. Вероятности нахождения такого числа приведены в таблице 2 [см.: 5, с.72].

 

Таблица 2 – Результаты поиска произвольно вводимого числа

 

Количество цифр поискового числа Доля успешных результатов поиска
1–5 100 %
6 близко к 100 %
7 99,995 %
8 63 %
9 9,5 %
10 0,995 %
11 0,09995 %

 

Предварительно трактовать данную таблицу можно в пользу того, что в целом по мере увеличения количества цифр искомой последовательности, обратно пропорционально этому уменьшается и вероятность ее обнаружения.

Логически докажем теорему о нормальности числа π

1) Число  = 3, 141…  имеет актуально бесконечное множество знаков (см. аксиому Лозовского).

2) Примем рабочее определение: актуально бесконечное счетное множество – это всякое множество А равномощное множеству всех натуральных чисел, а также имеющее правильную часть В, равномощную всему (целому) множеству А, т. е. |В| = |А|.

3) Потенциально бесконечное множество не обладает свойством |В| = |А|, т.е. часть этого (по определению Г. Кантора «не собственно бесконечного» множества) не равномощна целому множеству.

4) То, что какая-либо цифра десятичной системы, выявляемого в будущем множества знаков числа π, вообще перестала бы неожиданно обнаруживаться, т.е. в будущем она вдруг оказалась бы в «особом положении по отношению к этому числу», – вероятность подобного события стремится к 0. Это обстоятельство отмечал Э. Борель [1, с.62].

5) Каждое из подмножеств знаков числа π = 3,141…, обозначаемое разными цифрами (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), является правильной частью всего актуально бесконечного множества десятичных знаков этого числа [3, с. 31-43].

Мы доказали, что теоретически число π является нормальным числом к основанию 10. Существуют и уже приводимые нами в настоящей работе следующие экспериментальные подтверждения этой теоремы.

1) Вычислительный эксперимент №1: все цифры из известного сейчас множества знаков числа π  в десятичной записи встречаются в среднем примерно с одинаковой частотой – это соответствует нашим исходным допущениям и предлагаемой теореме (см. табл. №1).

2) Интерпретация вычислительного эксперимента №2: вероятность обнаружения произвольной последовательности x из n цифр в десятичной записи числа π, начиная с определенного значения, в целом обратно пропорциональна величине n, как длине последовательности x – это соответствует нашим исходным допущениям и предлагаемой теореме (см. табл. №2).

3) Математическое ожидание: вероятность обнаружить потенциально бесконечную последовательность одних и тех же цифр (например, последовательность, состоящую из одной и той же повторяющейся цифры 7 – будет стремиться к 0). Это соответствует нашим исходным допущениям и предлагаемой теореме.

 

Прямые следствия решения проблемы нормальности иррационального числа

 

Каковы же прямые следствия доказанной нами теоремы?

Следствие №1: всякая конечная, либо потенциально бесконечная последовательность цифр имеет счетное множество подобий (тождественных ей последовательностей), заложенных в актуально бесконечном множестве десятичных знаков числа π.

Следствие №2: малые отклонения от абсолютно равномерной частоты выявляемых в вычислительных экспериментах (при десятичной записи числа π) цифр и последовательностей из них – есть информация, требующая осмысления, а также она требует объективизации существующих закономерностей, которые лежат в основании подобных отклонений.

Какова возможна эпистемологическая концепция, опосредованно связанная с концепцией нормальности числа π в десятичном счислении?

1) Число π в десятичной записи является исторически выделенной математической структурой, потому что традиционно по доминирующим научным представлениям – именно оно, как полагают ныне, есть показатель развития цивилизации.

2) Множество знаков числа π – это знание, имеющее смысл. Например, отношение длины окружности и ее диаметра – это знание, имеющее геометрический смысл.

3) Существует объективизированное человеком знание – это, например, знание 50 000 000 000 000 знаков числа π, которые к 2020 году стали известны науке.

4) Конечное знание, осмысленное (полностью или частично) человеком несет информацию. Известно, что информацию допустимо трактовать как: устойчивые определенное время неоднородности произвольной физической системы, а Вселенная, объем информации в которой конечен, с этой точки зрения – эффективно познаваема [4]. Но, в вычислительном эксперименте информацию несут и бесконечные чисто математические структуры, которые по частоте обнаружения цифр могут отклоняться от своего абсолютного идеала, что и требует осмысления. Например, информацией являются не абсолютно равные конечные подмножества цифр, выявленные вычислительным экспериментом, в дробной части числа π (см. таблицу №1).

5) Процесс познания потенциально бесконечен, включая процесс объективизации человеческим сознанием последовательности знаков числа π.

6) Знание, доступное человеку неполное (частичное) и имеется «абсолютный предел» всякого познания. Известно, что существует построенное А. Мостовским неразрешимое предложение о действительных числах, истинность которого не может быть установлена без предположения о существовании недостижимых порядковых чисел, а также известна специальная аксиома А. Тарского о существовании недостижимых множеств [13, с.114-115].

Частичным человеческим знанием, например, являются конкретные знаки числа π, в принципе недостижимые с помощью математической индукции, а определенное значение каждого из этих знаков известно только с вероятностью 0,1 или иначе оно известно нам на 10 %. Таким образом, существует примерно 10 % вероятность «угадывания цифры», т.е. выявления точного значения любого произвольно выбранного члена последовательности знаков всякого иррационального числа, включая число π.

7) Подтверждается предположение, что все просто определяемые иррациональные числа:

е, π, √ 2 и др. – нормальны [1, с.60-63].

8) Э. Борель писал: «…есть конечная вероятность (равная единице, поделенной на число, имеющее около 1 400 000 цифр) того, что в алфавитном представлении числа π имеется некоторая определенная последовательность в миллион букв, образующая данную книгу. Хотя эта вероятность крайне мала, но поскольку разложение π следует мыслить неограниченным, ибо π не рационально, приходится допустить, что эта последовательность букв встретиться не один раз, а даже бесконечное число раз» [1, с.60-63].

Мы со своей стороны отметим: вероятность обнаружить в числе π набранный текст в алфавитной нумерации, имеет величину, примерно определяемую объемом текста (см. таблицу №2). Однако, возможные отклонения от математических ожиданий, при обнаружении каждого конкретного текста, должны иметь смысл и нести информационную нагрузку.

Каковы допустимы основные выводы из предложенной концепции?

1) Тождественность части целому, в актуально бесконечном множестве десятичных знаков, обуславливает нормальность просто определяемого иррационального числа, которое представляет непериодическая дробь.

2) Просто определяемое иррациональное число нормально к основанию 10 (в общем случае к основанию g), если: в вычислительном эксперименте выявляется конечное подмножество каждой из лежащих в основании этого числа десяти (в общем случае g) цифр.

3) Выявленные при вычислительном эксперименте, в дробной части просто определяемых чисел, незначительные отклонения от абсолютно равномерной частоты лежащих в основании цифр – несут информационную нагрузку и требуют осмысления.

 

Отдаленные следствия решения проблемы нормальности иррационального числа

 

Каковы возможные отдаленные следствия предлагаемой концепции? С точки зрения В.В. Кассандрова: в основе природы лежит первичный Принцип, имеющий математическое происхождение, и некоторая объективно существующая математическая структура, допускающая большое количество эквивалентных математических описаний и соответствующих им физических интерпретаций. Все известные законы природы являются прямыми следствиями этого единственного исходного принципа. После выбора кандидата на роль первичной структуры ее анализ и прочтение ее свойств должно проводиться дедуктивным путем [6, с.85-102]. В связи с этим избирательно и выборочно приведем некоторые тезисы автора алгебродинамического подхода В.В. Кассандрова в нашей произвольной интерпретации.

  1. В основе Природы лежит некоторый первичный Принцип (Код, Алгоритм, Метазакон), имеющий чисто абстрактное математическое происхождение. Все известные так называемые «законы природы», полученные из эксперимента, либо являются прямыми следствиями этого единственного исходного принципа, либо вообще не имеют отношения к правильному описанию природы и лишь случайно приближенно выполняются при определенных условиях.
  2. В современных условиях новые эксперименты мало, что могут добавить к нашему пониманию окружающего мира. Фундаментальные законы природы следует изучать не в лаборатории, а главным образом «на бумаге» ставя «эксперименты» над самими математическими структурами (В. И. Арнольд). При этом, может оказаться, что господствующие физические теории и представления (даже такие красивые, как ОТО) не имеют никакого отношения к реальности, и о принципе соответствия в принятом в настоящее время смысле вообще придется забыть.
  3. В основании первичного Принципа и, как следствие, устройства Вселенной лежит некоторая объективно существующая математическая структура (скорее всего, числовая или/и логическая), исключительная по своим внутренним свойствам. Вселенная представляет собой своего рода реализацию («материализацию») этой первичной структуры.
  4. Только одна уникальная структура кодирует наш мир вплоть до структуры возникающего в нем наблюдателя (это есть своего рода математическая версия известного антропного принципа), и задача состоит в ее нахождении и исследовании.
  5. Первичная фундаментальная структура есть некоторая абстрактная сущность, допускающая большое количество эквивалентных математических описаний и соответствующих им физических интерпретаций.
  6. При выборе кандидата на роль первичной структуры нельзя ограничиваться известным и используемым в физике набором (дифференциальные уравнения, расслоенные пространства, риманова геометрия и т.п.). Только не связывая себя заранее догмами ортодоксальных теорий можно надеяться обнаружить принципиально новые, истинные способы описания природы, закодированные в первичной структуре.
  7. Изначально имеет смысл предполагать также, что первичная физика должна быть существенно нелокальной, и именно глобальные свойства пространства-времени и глобальную динамику должна в первую очередь кодировать первичная структура.
  8. После выбора кандидата на роль первичной структуры ее анализ, прочтение ее свойств должно проводиться жестким дедуктивным путем и, в частности, исключить всякую возможность введения в схему феноменологических, подгоночных параметров для лучшего описания наблюдаемых закономерностей.
  9. Даже «угадав» исключительную первичную структуру, положенную в основу мироздания (а, скорее всего, лишь приблизившись к ее пониманию), трудно надеяться сразу же воспроизвести всю эффективную феноменологию описания природы, которая была создана поколениями выдающихся ученых. Трудно сразу же вывести из абстрактной схемы превосходящую ее по эффективности описания альтернативную модель. Не следует, поэтому, на первых порах и требовать от подобных общих подходов каких-то новых предсказаний, проверяемых экспериментально. Всему свое время, справедливо полагает В.В. Кассандров.

Можно ли допустить, что первичной структурой, о которой рассуждает этот автор окажется число π?  Известно, что до сих пор не решена шестая проблема Гильберта: математическое изложение аксиом физики. Немного помечтаем. Допустим, что в будущем будет создана программа на любом универсальном языке программирования (алгоритм), включающая математически изложенные аксиомы физики, которые тоже будут созданы учеными к тому времени. Допустим также, что математическая первоструктура – это число, в записи которого с большей вероятностью можно обнаружить некоторый текст, имеющий для науки смысл и актуальный для неё. Не исключено то, что в подобной первоструктуре мы можем «случайно» обнаружить созданную нами или даже более совершенную и полную систему аксиом физики. Ведь, возможно, что «случай – это язык Бога».

Итак, по нашему предположению: в роли математической первоструктуры может выступить любое нормальное иррациональное число, известная науке десятичная запись которого имеет наибольшую конечную мощность множества знаков. На настоящий момент основным претендентом на эту роль, безусловно, является число π.Тем не менее мы убеждены, что время обязательно окончательно ответит на этот очень непростой вопрос…

Автор выражает признательность Советнику государственной службы I класса Владимиру Вячеславовичу Орешникову и доктору физико-математических наук, профессору СПб Политехнического университета Петра Великого Дмитрию Юльевичу Скубову за критические замечания и дружескую поддержку.

 

Литература:

 

  1. Борель Э. Вероятность и достоверность. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, М.: Наука, 1961.119 с.
  2. Годарев-Лозовский М.Г. Метатеоретическая аксиома о различной мощности множества знаков периодической и непериодической дробей, её основные следствия. // IY Российская конференция Основания фундаментальной физики и математики. ОФФМ – 2020. Материалы конференции 11-12 декабря 2020 года. М.: РУДН, 2020. 245 с.
  3. Годарев-Лозовский М. Г. Числовая модель познания бесконечного // Философия и гуманитарные науки в информационном обществе. 2021. № 1. С. 31–43. URL: http://fikio.ru/?p=4318.
  4. Гуревич И. М. Физические законы и свойства природы как следствие законов информатики // Сервер LNFM1. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. URL: http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/articles/gurevich_2011-05-27.pdf (дата обращения 01.03.2021).
  5. Жуков А.В. Вездесущее число π. М.: URSS, 2017. 237 с.
  6. Кассандров В.В. Число-структура-материя: на пути к радикальной пифагорейской методологии фундаментального естествознания. // Метафизика. 2012. №1 (3).
  7. Синкевич Г.И. Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века. Институт истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова. М. РАН. 2018. 313 с.
  8. Султанова Л. Б. Актуально бесконечное в математике как лабиринт мышления // Вопросы философии. 2017. № 3. С. 88-94.
  9. Полищук Е.М. Э. Борель 1871-1956. Ленинград.: Наука, 1980. 167с.
  10. Понтрягин Л.С. Анализ бесконечно малых. М. URSS, 2017. 256 с.
  11. Мордкович А. Г., Солодовников А. С. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1990. 416с.
  12. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. М.: Наука, 1971. 435 с.
  13. Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: URSS, 2006. 552 с.

 

Literature:

 

 

  1. Borel E. Probability and reliability. M.: Nauka: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1961.119 p.
  2. Godarev-Lozovsky M. G. Metatheoretical axiom about the different cardinality of the set of signs of periodic and non-periodic fractions, its main consequences. // IY Russian Conference Foundations of Fundamental Physics and Mathematics. OFFM-2020. Materials of the conference on December 11-12, 2020. M.: RUDN, 2020. 245 p.
  3. Godarev-Lozovsky M. G. Numerical model of cognition of the infinite / / Philosophy and humanities in the information society. 2021. No. 1. pp. 31-43. URL: http://fikio.ru/?p=4318
  4. Gurevich I. M. Physical laws and properties of nature as a consequence of the laws of computer science // The LNFM1 server. Lomonosov Moscow State University. URL: http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/articles/gurevich_2011-05-27.pdf (accessed 01.03.2021).
  5. Zhukov A.V. The ubiquitous number π. M.: URSS, 2017. 237 p.
  6. Kassandrov V. V. Number-structure-matter: on the way to a radical Pythagorean methodology of fundamental natural science. // Metaphysics. 2012. №1 (3).
  7. Sinkevich G. I. Development of the concept of number and continuity in mathematical analysis until the end of the XIX century. Institute of the History of Natural Science and Technology named after S. I. Vavilov. M.: RAS. 2018. 313 p.
  8. Sultanova L. B. The infinite is relevant in mathematics as a labyrinth of thinking // Questions of philosophy. 2017. No. 3. pp. 88-94.
  9. Polishchuk E. M. E. Borel 1871-1956. Leningrad.: Nauka, 1980. 167 p.
  10. Pontryagin L. S. Analysis of infinitesimals. M.: URSS, 2017. 256 p.
  11. Mordkovich A. G., Solodovnikov A. S. Mathematical analysis. M.: Higher School, 1990. 416 p.
  12. Feferman S. Numerical systems. Fundamentals of algebra and analysis. M.: Nauka, 1971. 435 p.
  13. Frenkel A. A., Bar-Hillel I. Foundations of set theory. M.: URSS, 2006. 552 p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 430 total views,  4 views today